Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
уравнений, допускающих (п- 1)-мерную разрешимую группу симметрий.
Алгебраический аналог теории Ли - знаменитая теория Галуа групп
подстановок корней многочленов.
В гамильтоновой механике особую роль играют группы симметрий, порождаемые
гамильтоновыми системами: если функции Н и F находятся в инволюции, то
фазовый поток гамильтоновой системы с гамильтонианом F переводит решения
уравнений Гамиль-тона с гамильтонианом Н в решения тех же уравнений.
Таким образом, задача о группах симметрий уравнений Гамильтона содержит
как частный случай задачу о первых интегралах. Нётеровы симметрии
порождаются линейными интегралами F = р ¦ v(q).
7. С другой стороны, усилия Клеро, Лагранжа, Пуассона, Лапласа,
Гаусса, направленные на приближенное решение прикладных задач небесной
механики, привели в конце концов к созданию теории возмущений. Решения
уравнений движения предлагается искать в виде рядов по степеням малого
параметра (например, в Солнечной системе таким параметром является
отношение массы Юпитера к массе Солнца). Впоследствии Делоне, Гильден,
Линд-штедт модифицировали теорию возмущений с помощью метода
14
Введение
Гамильтона - Якоби. Пусть Н = Но + еН\ + е2Н2 + ¦ ¦¦ (е •С 1) и
"невозмущенная" задача с гамильтонианом Но интегрируема. Предлагается
искать производящую функцию S в виде ряда 5"0 + + eS\ + .,
удовлетворяющего уравнению
Ho^q^+eH1(j^^+... = K0{P) + eK1{P) + ... , (5)
где функции пока неизвестны. Функции S0 и согласно предположению могут
быть найдены из уравнения (5) при г = 0. Функции Si и К, при г ^ 1
находятся последовательно; возникающий произвол в их определении можно
исключить с помощью условия отсутствия так называемых "вековых" членов.
Таким образом, возмущенную задачу можно считать "решенной", если ряды
теории возмущений корректно определены и являются сходящимися. Из их
сходимости вытекал бы ряд важных следствий (в частности, вечная
устойчивость Солнечной системы). Забегая вперед, скажем о
разочаровывающем результате Пуанкаре: в общем случае из-за наличия так
называемых малых делителей ряды теории возмущений расходятся. Более того,
расходятся ряды усовершенствованной теории возмущений, предложенной
Пуанкаре и Болином, в которой решения разлагаются в ряды не по степеням
г, а по степеням у/е . Заметим, что если ряды теории возмущений сходятся,
то уравнения движения имеют полный набор интегралов в инволюции, которые
можно представить в виде сходящихся степенных рядов по г (или у/1).
Уиттекер, Черри и Биркгоф получили впоследствии (1916-1927 гг.)
аналогичные результаты для гамильтоновых систем в окрестности положений
равновесия и периодических траекторий. Они показали, что в общем случае
существует каноническое преобразование, задаваемое формальными степенными
рядами, после которого уравнение Гамильтона просто интегрируется.
Гамильтоновы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа иногда
называются интегрируемыми по Биркгофу. В этом случае также существует
полный набор независимых коммутирующих интегралов специального вида.
8. После того как математики осознали невозможность решения в
замкнутой форме уравнений классической динамики, появились строгие
результаты об их неинтегрируемости. Первым среди них была, по-видимому,
теорема Лиувилля (1841 г.) о неразрешимости в квадратурах уравнения x+tx
- 0 Более точно, не существует поля, содержащего все решения уравнения
Лиувилля, которое можно получить из поля рациональных функций от t
последовательностью конечных алгебраических расширений, присоединений
интегралов и присоединений экспонент интегралов [207].'В 1887 г.
появилась теорема Брунса о несуществовании в задаче трех тел ал-
15
Введение
гебраических интегралов, независимых от классических [184]. "К сожалению,
в его доказательстве содержался большой пробел, восполнить который было
делом деликатным",-сообщает Пуанкаре в своем "Аналитическом резюме". - "Я
был счастлив поставить прекрасное и искусное доказательство Брунса вне
всяких возражений". Пуанкаре здесь имеет в виду свою работу [226].
Теорема Брунса - Пуанкаре была обобщена Пенлеве (1898 г.) на случай,
когда интегралы алгебраичны лишь по скоростям трех гравитирующих тел.
Впоследствии аналогичные результаты получены Гюссо-ном (1906 г.) и
другими авторами в динамике тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.
Можно, однако, согласиться с Уинтнером [162], что эти "изящные
отрицательные результаты не имеют какого-либо значения в динамике",
поскольку они никак не учитывают особенности поведения фазовых
траекторий. Что касается первых интегралов, то локально в окрестности
неособой точки полный набор независимых интегралов существует всегда. Их
алгебраичность или трансцендентность зависит исключительно от выбора
независимых переменных. Поэтому задача об интегралах является
содержательной лишь тогда, когда она изучается во всем фазовом
пространстве или в окрестности инвариантного множества (например,
положения равновесия или периодической траектории).
