Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
самоочевидным, можно понять из письма Ковалевской к Миттаг-Лефлеру (1886
г.): ".. .Не далее этого лета он [Пикар] отнесся с большим недоверием,
когда я ему сказала, что функции вида
в(Сх + А, С\х + Л))
У=: в1(Сх + А,С1х + А1)
могут быть очень полезны при интегрировании некоторых дифференциальных
уравнений..." В работах Ковалевской и ее последователя Кеттера техника
интегрирования дифференциальных уравнений в абелевых функциях достигла
большого совершенства. Затем это искусство было "утрачено". Уже в работах
Чаплыгина интегрирование доводится до абелевых интегралов без обсуждения
явного выражения переменных задачи через 0-функции. Техника
интегрирования в 0-функциях возрождена в настоящее время на новом
теоретическом уровне [52,178].
4. Практически во всех проинтегрированных задачах известные первые
интегралы оказались либо рациональными функциями, либо полиномами.
Поэтому они продолжаются в комплексную область изменения фазовых
переменных р, q как однозначные голоморфные или мероморфные функции.
Однозначный гамильтониан порождает "комплексифицированную" гамильтонову
систему. При этом решения, как функции комплексного времени (или
некоторой вспомогательной переменной), часто оказываются ме-роморфными. В
качестве примеров можно указать задачу Якоби о движении точки по
трехосному эллипсоиду, волчок Ковалевской, случай Клебша в задаче о
движении твердого тела в идеальной жидкости. Более того, исследования
Ковалевской и Ляпунова по классической задаче о вращении тяжелого волчка
показали, что общее решение уравнений движения представляется
однозначными функциями времени только в случаях, когда существует
дополнительный полиномиальный интеграл. В связи с этим возникла
интересная задача о соотношении между существованием однозначных
голоморфных интегралов и ветвлением решений в комплексной плоскости
времени; ее постановка восходит к Пенлеве.
12
Введение
5. В более поздних работах внимание сосредоточилось на качественном
исследовании движения гамильтоновых систем, решаемых методом Гамильтона -
Якоби, в первую очередь - методом разделения переменных. В научном
обиходе появляются специфические для интегрируемых систем переменные
действие - угол. Они "были введены Делоне для исследования проблем
астрономических возмущений в небесной механике. Позднее они оказались
чрезвычайно удобными для старой формы квантовой механики, так как
квантование Бора - Зоммерфельда состояло в том, что каждая переменная
действия полагалась равной целому кратному постоянной Планка" (Дж. Л.
Синг [152]). Впервые условия квантования были сформулированы для систем с
разделенными переменными, но постепенно стало ясно, что и в самом общем
случае совместные уровни полного набора интегралов в инволюции в
компактном случае гомеоморфны многомерным торам, что движение по ним в
соответствующих угловых переменных происходит по условно-периодическому
закону и что переменные действия
представляют собой интегралы
rj
pdq по независимым циклам,
по-разному охватывающим тор (см. гл. II). Системы с полным набором
интегралов в инволюции теперь принято называть вполне интегрируемыми.
В окрестности каждого n-мерного инвариантного тора вполне интегрируемой
гамильтоновой системы с п степенями свободы можно ввести канонические
переменные действие - угол Д,..., <pi,...,<pn mod 2л, в которых функция
Гамильтона Н зависит лишь от I. В этих переменных уравнения Гамильтона
принимают следующий простой вид:
ОН
Л = о, = (/) = - ,
Ol\
1п = О
п
ип(1)
(Ш
д1п
(4)
Координаты <р\,... мерном торе / =
, <р" - угловые координаты на инвариантном 71-const, равномерно
меняющиеся со временем.
Гамильтонова система называется невырожденной, если
#0.
det
д2Н - det 0(O71, . . . ,07")
dBdlj 0(Д,...,/")
В невырожденной системе можно перейти к новым (неканоническим)
координатам Jk - (/), mod 2л, в которых уравнения
(4) принимают "универсальный" вид:
= 1,
13
Введение
Перефразируя Льва Толстого, можно сказать, что все интегрируемые
гамильтоновы системы похожи друг на друга, а каждая неинтегрируемая
система неинтегрируема по-своему.
6. К Лагранжу и Якоби восходит фундаментальное замечание о том, что
десять классических интегралов задачи многих гравитирующих тел являются
следствием инвариантности уравнений движения относительно действия
десятипараметрической группы Галилея. Это замечание впоследствии было
обобщено Эмми Нётер (1918 г.): если функционал действия
инвариантен относительно группы q -> ga(q), то уравнения Лагранжа
допускают интеграл pv = const, где р = dL/dq - канонический импульс, и
v(q) = d/da\a=Q(ga(q)) -векторное поле, порождающее группу симметрий.
Факторизацией по орбитам действия группы симметрий можно понизить порядок
системы дифференциальных уравнений. Примерами служат переход к
барицентрической системе отсчета и знаменитый.результат Якоби об
"исключении узлов" в задаче многих тел. Развивая эти идеи, Софус Ли
доказал интегрируемость в квадратурах системы п дифференциальных
