Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
состояния-не зависят.
Теорема 1 [216]. Собственные числа матрицы L являются интегралами системы
(8.1).
Доказательство основано на следующем факте: если X и Y - конечномерные
матрицы, то trXY = tr УХ; здесь tr - след матрицы. Вычислим сначала
производную:
(Lky = LLk~l + LLLk~2 + ... + Lk~lL =
= ALk - LALk-1 + ... + Lk~lAL - LkA .
Воспользовавшись равенством LkALs+1 - Lk+1ALS - (LkAL',)L - - L(LkAL*),
получаем, что (tr Lk)' = tr(Lk)' = 0. Следовательно,
105
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
следы степеней матрицы L - интегралы системы (8.1). Для завершения
доказательства осталось вспомнить, что коэффициенты характеристического
уравнения |L - ХЕп\ = 0 однозначно определяются следами tr Lk (1 ^ к ^
п).
Теорема 1 хорошо известна в квантовой механике в связи с переходом от
картины движения Гейзенберга к картине Шрединге-ра. Следует подчеркнуть,
что вопрос о независимости интегралов, получаемых по теореме 1, каждый
раз должен решаться отдельно.
2. В качестве простого примера представления Гейзенберга рассмотрим
задачу Эйлера о свободном вращении твердого тела, описываемую векторным
уравнением момента
т = т х ш , т = 1ш . (8-3)
Каждому вектору а трехмерного ориентированного евклидова пространства с
координатами а\,а2,а$ можно поставить в соответствие кососимметричную
матрицу
0 -oi аг
= a\ 0 -a3
-a2 аз 0
При таком соответствии векторное умножение переходит в коммутатор матриц.
Следовательно, уравнение (8.3) можно записать в виде матричного
коммутационного уравнения М = [fi, М]. В этом случае представление
Гейзенберга точное. Следы матриц М, М2, М3 равны 0, -2(т, т), 0
соответственно.
Это наблюдение можно распространить на уравнения Пуанкаре (гл. 1, § 2):
д? \ ' r ,
3^) +".(<>¦
^ (8-4)
ха = 2^0>aVa(x") , 1 ^ 8 ^ п .
а
Здесь ?(ы, х) -функция Лагранжа; с-s -структурные постоянные алгебры Ли
g; v\,..., vn - базис левоинвариантных полей на соответствующей группе G.
Полагая ms = d?/duis, введем две матрицы, L и А, с элементами Lк> =
X)c?,mQ, А*к = J2ckawa-
а а
Теорема 2. Решения системы (8.4) удовлетворяют матричному уравнению
t = [A,L} + B, (8.5)
где матрица В - ||5ц|| составлена из коммутаторов Bjj =
= "/](?)•
106
§ 8. Представление Гейзенберга
Для того чтобы получить уравнение (8.5), надо умножить первые уравнения
(8.4) нас^, просуммировать по s и воспользоваться тождеством Якоби для
структурных постоянных алгебры д.
Если лагранжиан С левоинвариантен (т. е. т"(?) = 0), то С зависит лишь от
переменных ш и матрица В обращается в нуль. В этом случае уравнения
Пуанкаре являются замкнутой системой уравнений на алгебре д\ матрицы А и
L дают их представление Гейзенберга. Такое представление не всегда
точное: если группа G абелева, то с:¦) = 0 и уравнение (8.5) вырождается
в тривиальное тождество. Однако представление Гейзенберга является точным
для случая, когда д - простая алгебра (как в задаче Эйлера).
3. Пусть М = D х Тт, где D - область в Шк = {Д,...,Д} и Тт - т-мерный
тор с угловыми координатами <р\,..., <рт.
Предложение.
Д = • • • = Д = 0 ,
Система дифференциальных уравнений Ф\ = Vl (I) , , Фт = Um{I)
(8.6)
допускает точное представление Гейзенберга (8.2), причем элементы матриц
L и А -однозначные функции в Dx Tm, а собственные числа матрицы L суть 0,
Д, ..., Ik-
Следствие. Каждая вполне интегрируемая гамильтонова система в окрестности
инвариантных торов допускает точное представление Гейзенберта.
В подавляющем большинстве проинтегрированных гамильтоновых систем точное
представление Гейзенберга имеется во всем фазовом пространстве (см.
обзоры [55, 68]).
Для доказательства предложения рассмотрим квадратные матрицы
д 0
0 Д
А U
и 0
г _ Фа Ф,
ДДч - -Ф,
0
0
I'm
и А -
0 0
п Ау 0
и 0
А, =
Ф" = exp(i<pe)
0 -iWg/2
-iw,,/! 0
(1 ^ s ^ ш). Нетрудно проверить, что решения системы (8.6) удовлетворяют
матричному уравнению (8.2). Собственными числами матрицы L являются Д,
..., Д и 0 (кратности 2т).
107
Глава II. Интегрирование гамильтоновых систем
4. Приведем некоторые примеры представлений Гейзенберга в теории
систем взаимодействующих частиц.
Рассмотрим замкнутую цепочку Тоды: п частиц на прямой с координатами
Х\,... ,хп, удовлетворяющими уравнениям
Xi = -dV/dxi, г=1,...,п, (8-7)
П
где V = Y ехр(ж*, - ж*-н)> хп+\ = х\. Положим
к=\
by а\ 0 ¦¦ 0 an
ai ь2 й2 0 0
0 а2 h 0
0 0 bn~ i On-1
ап 0 0 •• On_i bn
0 а1 0 • 0 an
a j 0 02 0 0
0 -02 0 0
0 0 0 an. -l
ап 0 0 • on_ i o
где 2щ = ехр[(.тд. - x*.+ i)/2], 2= -ж*,. Как показали М. Хенон, Г.
Фляшка и С. В. Манаков (1974 г.), уравнения (8.7) допускают представление
(8.2) с матрицами (8.8). Из теоремы 1 вытекает, что п собственных
значений матрицы L являются интегралами системы (8.7). Можно показать,
что они независимы и коммутируют. Полный набор независимых коммутирующих
интегралов составляют также следы матриц L, L2,..., Ьп. Например, trL = =
- Y ь/2. Эти интегралы - полиномы по скоростям жр ..., х", коэффициенты
