Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
торов при добавлении возмущения. Аналитический аспект этого явления -
знаменитая проблема малых знаменателей в небесной механике. Другие
известные в настоящее время препятствия к интегрируемости-: расщепление
асимптотических поверхностей и ветвление решений в плоскости комплексного
времени - также тесно связаны с резонансами.
В этой книге впервые предпринята попытка систематизировать результаты по
проблеме интегрируемости гамильтоновых систем, полученные за последние
10-15 лет, а также дать современное изложение классических результатов по
этой тематике. Структура книги такова. Во введении дан исторический обзор
исследований по проблеме интегрируемости уравнений динамики. Основы
гамильтоновой механики изложены в гл. I. Глава II посвящена методам
точного интегрирования уравнений Гамильтона; в ней обсуждаются различные
аспекты понятия интегрируемой гамильтоновой системы. В гл. III указаны
грубые препятствия к интегрируемости, выраженные через топологические
инварианты конфигурационного пространства. Обсуждение резонансных явлений
в связи с проблемой интегрируемости содержится в гл. IV-VIII. Изложенные
методы позволяют дать строгие доказательства неинтегрируемости многих
актуальных проблем динамики. Особое место занимает обсуждение механизма
стохастизации гамильтоновых систем при малом изменении функции
Гамильтона.
В книге используется разнообразная математическая техника. Однако, все
сведения, выходящие за пределы стандартного университетского курса,
изложены в самой книге. Так что от читателя требуются лишь настойчивость
и терпение. Книга предназначена в первую очередь для молодых механиков и
математиков, которые имеют возможность попробовать свои силы в этой
увлекательной области, где имеется еще много важных нерешенных задач.
В. Козлов
7
Мефистофель
Наука эта - лес дремучий.
Не видно ничего вблизи.
Исход единственный и лучший: Профессору смотрите в рот И повторяйте, что
он врет. Спасительная голословность Избавит вас от всех невзгод, Поможет
обойти неровность И в храм бесспорности введет. Держитесь слов.
Студент
Да, но словам Ведь соответствуют понятья.
Гёте "Фауст"*)
ВВЕДЕНИЕ
1. В 1834 г. Гамильтон представил дифференциальные уравнения
классической механики - уравнения Лагранжа
d дЬ _8Ь
dt dq dq
в "канонической" форме:
. дН . ОН
4 ~ ' Р ~ dq ' ( )
Здесь р = dL/dq - обобщенный импульс, а функция Гамильтона Н = pq - L -
"полная энергия" механической системы. "Его результаты были частично
получены еще ранее французскими математиками. Пуассон уже в 1809 г.
сделал первый шаг в этом направлении, он ввел в рассмотрение величину**)
РгЧт ~ Т ,
*) Перевод Б. Л. Пастернака. - Примеч. ред.
*) Т - кинетическая энергия системы. - В. К.
8
Введение
представил ее как функцию переменных q\, q2, ..., qn и получил, таким
образом, первую половину системы Гамильтона. Лагранж в 1810 г. ввел
специальную систему уравнений (для вариации элементов орбиты) в форме
Гамильтона, в которой роль функции Н играет функция возмущений. Кроме
того, к этой форме уравнений привела и теория нелинейных дифференциальных
уравнений с частными производными первого порядка, ибо, как это показали
Пфафф в 1814 г. и Коши (в дополнении к более ранним работам Лагранжа и
Монжа) в 1819 г., дифференциальные уравнения характеристик уравнения в
частных производных
f{xux2, ¦ ¦ .,Xn,puP2, ¦ ¦ ¦ ,Рп) = 0 , (2)
dz
где и, = -- , имеют вид OXg
dx i dx 2 dxn
df/dpi df/dp-2 df/dpn
_ dpi _ dp2 __ __ dpn
-df/dx i -df/dx 2 -df/dxn'
Исследования Гамильтона были распространены Остроградским (1848-1850 гг.)
и Донкином (1854 г.) на те случаи, когда кинетический потенциал содержит
явно время" (Е. Уиттекер [163])*).
2. Задача интегрирования гамильтоновых систем (не записанных еще в
канонической форме) обсуждалась уже в работах братьев Бернулли, Клеро,
Даламбера, Эйлера и, конечно, Лагранжа, связанных с применением идей и
принципов Ньютона к различным задачам механики. "Разрешимыми"
(интегрируемыми) считались лишь те задачи, которые можно было решить с
помощью конечного числа алгебраических операций и "квадратур" -
вычислений интегралов известных функций.. Однако наиболее актуальные
задачи динамики (скажем, задача птел) оказались "неинтегри-руемыми"
(точнее, непроинтегрированными). Рассказывают, что Алексис Клеро,
потративший много времени на попытки проинтегрировать уравнения задачи
трех тел в связи с теорией движения Луны, махнул на это дело рукой,
сказав: "Пусть интегрирует, кто сможет". Лишь в самых простых случаях,
когда система имела всего одну степень свободы (п = 1) или расщеплялась
на несколько независимых одномерных систем, интегрирование оказывалось
*) "Было бы весьма, желательно дать подробный критический анализ
исторического развития исследований по и том у вопросу. Имеющиеся в
литературе ссылки относительно происхождения фундаментальных
математических понятии в аналитической динамике почт все ошибочны" (А.
Уинтнер [J02]).
