Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
является тригонометрическим многочленом -............199
§ 6. Некоторые обобщения ...............................213
§ 7. Приложение к системам взаимодействующих частиц 216
§ 8. Рождение изолированных периодических решений как
препятствие к интегрируемости........................219
§ 9. Невырожденные инвариантные торы....................233
§ 10. Рождение гиперболических инвариантных торов.........238
§11. Неавтономные системы.................................244
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
................................................252
§ 1. Асимптотические поверхности и условия их расщепления
...............................................252
§ 2. Теоремы о неинтегрируемости .......................260
§ 3. Некоторые приложения...............................267
§ 4. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа ........279
4
Оглавление
§ 5. Бифуркации сепаратрис ............................287
§ 6. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических
решений...............................293
§ 7. Асимптотические поверхности неустойчивых положений
равновесия ........................................ 297
§ 8. Символическая динамика ...........................301
Глава VI. Неинтегрируемость в окрестности положений
равновесия.....................................309
§ 1. Метод Зигеля......................................309
§ 2. Неинтегрируемость обратимых систем................318
§ 3. Неинтегрируемость систем, зависящих от параметра
...............................................320
§ 4. Поля симметрий в окрестности положений равновесия
..............................................324
Глава VII. Ветвление решений и отсутствие однозначных
интегралов.....................................327
§ 1. Метод малого параметра Пуанкаре...................328
§ 2. Ветвление решений и полиномиальные интегралы в обратимой системе на
торе ............................335
§ 3. Интегралы и группы симметрий квазиоднородных систем дифференциальных
уравнений....................338
§ 4. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды ........346
§ 5. Группы монодромии гамильтоновых систем с однозначными
интегралами..................................357
Глава VIII. Полиномиальные интегралы гамильтоновых
систем.........................................372
§ 1. Метод Биркгофа ...................................372
§ 2. Влияние гироскопических сил на существование полиномиальных
интегралов...............................378
§ 3. Полиномиальные интегралы систем с полутора степенями
свободы........................................379
§ 4. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с
экспоненциальным взаимодействием ..................385
§ 5. Возмущения гамильтоновых систем с некомпактными
инвариантными поверхностями .......................398
§ 6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков ...402
Список литературы.......................................417
Предметный указатель ...................................427
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проблема точного интегрирования уравнений динамики - одна из самых
популярных тем исследования, начиная со знаменитых "Математических начал
натуральной философии" Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов
является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении
Ньютон уже использовал соображения симметрии: факторизуя орбиты группы
вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в
потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что
классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с
инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований
Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер: каждой
группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает
интеграл уравнений движения. Верно и обратное: фазовый поток уравнений
Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит
решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой
идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной
интегрируемости уравнений Гамильтона: фазовые потоки инволютивных
интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий
максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней.
Вначале задача интегрирования трактовалась лишь аналитически: найти явные
формулы для интегралов и решений уравнений движения. Однако после работ
Пуанкаре стало ясно, что свойство интегрируемости тесно связано с
особенностями поведения траекторий в целом. При "глобальном" изучении
динамических систем существенную роль играют топологические рассмотрения.
Сравнительно недавно обнаружено, что сложная топология кон-
6
фигурационного пространства несовместима с интегрируемостью уравнений
движения соответствующей механической системы. С другой стороны, как
показал еще Пуанкаре, интегрируемости гамильтоновых систем препятствуют
резонансные явления, связанные с разрушением инвариантных резонансных
