Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
413
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
из множества S с помощью линейного преобразования, задаваемого матрицей
А. Вектор Аа имеет компоненты (s, 0), поэтому наибольшая вершина S' лежит
на горизонтальной оси.
Заметим, что уравнения (6.17) линейны и однородны относительно
производных, поэтому формулы (6.18) и (6.19), которые являются следствием
(6.17), не зависят от периода функции Л; таким образом, выполнены условия
частного случая, рассмотренного выше. Следовательно, множество S' лежит
на координатных осях. Совершая обратное преобразование с ортогональной
матрицей А-1, получим, что точки исходного множества S лежат на двух
прямых, ортогонально пересекающихся в начале координат. Теорема 3
полностью доказана.
7. Положим
Вт =
(2т+1)х2 - 2 (п-т)у2 -(2n+ 1 )ху
(2п-2т+1)ху -(2 п - 2т + 1 )у2
Ст =
[2т-\-\)х2 - {2п-2т-\)у2 2 (п-т)ху
-2 пху -2 (п-т)у2
Теорема 4. Имеют место соотношения
[(2п + 1)х, у\Вп_!... В.Во ) = (2п + 1)!! (х + iy)2n+l, (6.21) [(2п-1)х2-
у2,2ху]Сп-2...С0 \ = (2п-1)!!(т+гу)2п. (6.22)
Заключение леммы 4 вытекает из матричного биномиального тождества (6.21).
Для этого достаточно положить cj = 1, сг = ±г (г2 = -1). В свою очередь,
равенство (6.18) является следствием тождества (6.22). Не исключено, что
тождества (6.21)-(6.22) имеют нетривиальную комбинаторную интерпретацию.
Приведем доказательство теоремы 4, найденное Д. В. Трещё-вым. Для
определенности рассматривается тождество (6.21). Левая и правая части
(6.21) - однородные полиномы по х,у степени 2n+ 1. Следовательно,
достаточно доказать равенство (6.21) для случая х2 + у2 = 1. С этой целью
положим х = cos а, у = sin а. Тогда равенство (6.21) примет вид
unAn-i ¦ ¦ ¦ А,А0 ] = (2n+l)!!e(2"+1)"\ (6.23)
414
§ 6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков
где
^±l(eia + e-ia),
^±l(e2ia+e~2ia) - (2n-1-4m) - 2п-2(tm)+Ч(е2{а-е~2{а)'
2п±1г-(е2:а
-2 га
)
-(е2га+е~2го-2)_
2n-2m+l / ,2га . "-2га
Положим = 2Ao[]j; Vk+1 = 2тЦг^ (k = 1,..., гг - 1). В этих обозначениях
равенство (6.23) имеет вид
2~nunvn = (2n+l)!!e'2n+1)ia.
Введем следующие обозначения:
а^1 = а(tm) - 1, а(tm) = 2?г... (2п - 5 + 2),
Ро= 1, рГ = (2п+1)а"
6^ = 6^ = 1, 67 = (2п - 2т + в)... (2п - 2т + 2),
9от = 1, С = (2п-2т+1)67,
/от=/т=1, /,т = (2п-2т + 2в+1).
Здесь s=l,2, ...,т - 1.
Лемма 7. Имеет место соотношение
пг
Е ( -1) e2(m~k^ia
к=О
(2n+i),'x: (-1)*с'<_к/№2(т-'>"
*=о
(6.24)
Это утверждение несложно доказывается индукцией по т. Любопытно отметить,
что г>т не содержит экспонент е2,а в отрицательных степенях.
Выведем теперь из леммы 7 формулу (6.24). Имеем
2 п +
0Ц± (-1)кСкпРПп_кд№2п-2к+^° + е(2п-2*-1)<а] +
*¦ к=0
+ (~1)kcnan-kfkbk[e('2n~2k+1)ia + e{2n~2k-l)ia] J.
k=0
415
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
Обозначим в этом выражении коэффициент при ( - 1)^(2п + + 1) ехр(2н - 2к+
\)ia символом /+. Тогда равенство (6.24) эквивалентно серии равенств ро =
2'1(2п - 1)!!, р\ = р2 = ... = рп+\ = О-Выпишем в явном виде выражение
для Рк'
M = \{cyn-k4k-Ck-Vn+,-kqU +
+ CknaUm +
(при А; = 0 в этой сумме надо оставить только первое и третье слагаемые,
а при k - п + 1-только второе и четвертое). Вычислим pq:
tM> = \(pnn + О = \[(2п + 1) + 1]< = 2"(2П - 1)!!
При к = 7г+1 получаем рп+\ = ^(-9" + Ь") = 0. Используя очевидные
равенства = кЩ j, aJJ_1+fc = (n+A+ l)<x"_fc и явные формулы для
биномиальных коэффициентов, нетрудно показать, что рк = 0 при всех к (0 <
к < тг+ 1).
Теорема 4 доказана.
416
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абраров Д. Л. Топологические препятствия к существованию
условнолинейных интегралов // Вестник Моск. ун-та, Сер. матем., механ. -
1984, № 6, 72-75.
2. Алексеев В. М. Квазислучайные динамические системы. I, И, III //
Матем. сб. - 1968, т. 76, N" 1, 72-134; 1968, т. 77, 4, .545-601;
1969, т. 78, W 1,
3-50.
3. Алексеев В. М. Перроновские множества и топологические цепи Маркова //
УМН. -1969, т. 24, JN(r) 5, 227-228.
4. Алексеев В. М. Символическая динамика //В кн. Одиннадцатая
математическая школа. - Киев: Ин-т мат. АН СССР, 1976. 210 стр.
5. Алексеев В. М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая
динамика // УМН, -1981, т. 36, N° 4, 161-176.
6. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях
отрицательной кривизны // Тр. МИАН СССР. -1967, т. 90, 3-210.
7. Аносов Д. В. О типичных свойствах замкнутых геодезических // Изв. АН
СССР, Сер. матем. -1982, т. 46, JM° 4, 675-709.
8. Аржаных А. С. Поле импульсов.-Ташкент: Изд-во "Наука" Уз. ССР, 1965.
231 стр.
9. Арнольд В. И. О неустойчивости динамических систем со многими
степенями свободы // ДАН СССР. -1964, т. 156, К8 1, 9-12.
10. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. 304 стр.
11. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.-М.: Наука,
1979. 431 стр.
12. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты
классической и небесной механики // В кн. Совр. пробл. мат.
Фундаментальные направления. Т. 3.-М.: ВИНИТИ, 1985. 304 стр.
