Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
... + Hn~1(an-1pip2 + bn-\p\) + НпЪп. (6.16)
Здесь ci, сг = const, ai, bi,... ,bn - гладкие функции на Т2.
Приравнивая нулю производную F2п, получим цепочку уравнений для
коэффициентов полинома (6.16):
dai db\ . dA
_ + _ + (2"_1)С1_ = °,
-^+^+с1^ + 2"с"=0, (6.17.1) dqi dq2 dqi dq2
da2 db2 dA
e^ + si + { )a'sji = 0-
- p + p + 2Л^ + a " + (2" - 2)6, ^ = 0, (fu7.2)
dqx dq2 dqi dqi dq2
dbn dA
-----h On-i^- - 0,
dqi dq2
dbn xoa^"-1 , dA n fa it ^
------1- 2Л-----\r an-i~-1- 2i>"_i -- - 0. (6.17.71)
dq2 dqi dqi dq2
Пусть (u,v) - вершина выпуклой оболочки множества S. Применяя тот же
метод, получаем равенство, аналогичное (6.12):
((2п - 1)н2 - v2,2uv)x
(2n-S)u2-3v2 4uv \ ( (2n-5)u2-5v2 6uv
-2nuv - Av2 J \ -2nuv -6v2
u2-(2n-l)v2 2nuv \ ( ci \ _ q
-2nuv -2nv2 J \c2 J
Его можно преобразовать к виду (см. п.7)
(2п, - 1)!! (ci cos та + с2 sin та) = 0, (6.18)
где tga = и/и. Отсюда tgта = -ci/сг = const.
Следовательно, и в этом случае вершины выпуклой оболочки S лежат на т
прямых, которые проходят через начало координат и
411
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
образуют между собой углы (6.15). При четном т ^ 4 среди них есть 7г/2, а
также п/4. Отсюда, используя лемму 5, легко вывести, что при четном m
многоугольник ?(S) может иметь 2, 4, 6 или 8 вершин, причем его главные
диагонали (проходящие через начало координат) либо ортогональны, либо
пересекаются под углом 7г/4. Этот результат интересен сам по себе, но из
него, конечно, нельзя вывести заключение теоремы 3.
Воспользуемся понятием примыкающей вершины, введенным в § 5 гл. IV. Для
этого рассмотрим стандартное отношение лексикографического порядка в R2:
будем говорить, что (к\,к2) больше (si,s2), если выполнено одно из
условий: 1) к\ > s i; 2) к j = sj, 1'2 > S2-
Пусть а = (u,v)- наибольший элемент S. Ясно, что эта точка является одной
из вершин выпуклого многоугольника ?(S). Вершиной /3 Е S, примыкающей к
а, назовем максимальный линейно независимый с а вектор из S. Если
множество S не лежит на одной прямой, то примыкающая вершина заведомо
существует. В противном случае уравнения Гамильтона допускают линейный
интеграл. Наша задача заключается в том, чтобы доказать ортогональность
векторов а и /3.
Лемма 6. Пусть sa + ft = т\ + ... + та+1, где т,- G S. Тогда Тк = (3 и Tj
= а для всех j ф к.
Рассмотрим сначала частный случай, когда наибольший элемент a - (и, v)
множества S лежит на горизонтальной координатной оси, т. е. и > 0, v - 0.
Пусть /3 = (к, I) - примыкающая вершина. Покажем, что к = 0. Множество S
инвариантно при симметрии относительно начала координат, поэтому точки S
лежат на координатных прямых.
Так как v = 0, то угол а из равенства (6.18) равен нулю. Следовательно,
постоянная с\ равна нулю. Ясно, что с2 ф 0 - в противном случае интеграл
F делится нацело на Я.
Решая методом Фурье систему (6.17.1), получим
Из (6.17.2) выводятся равенства [аг]2а = [^2]2о = 0. С их помощью, а
также применяя лемму 6, получим
Аналогично выводятся формулы для коэффициентов Фурье
Ыа = Ма = О-
(
(2А,* Н- -j- и) -/(2& + и)
412
6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков
[в*]/?+("-1)а> [Ь*]/3+("-1)а- Выпишем их в явном виде для s = п - 1:
[^n- l](n- 1)а [^тг- 1 ] (гг-1)а
( [(r)n-l]/3+(n-2)a \ [^n-l]/3+(n-2)a
{k + (n - 2)u)(2k + (2n - 5)u) \ (6.19.n - 1)
-l(2k + (2n - 5)u) J X
[^n-2]/3+(n-3)a
X I2 + (k + {n - 2)u)2
Наконец, из последней системы (6.17лг) выводятся равенства N/3+(n-l)a =
°> (2k + (2n - 3)'u)[A]a[an-l]fl+("_2)a = °- (6.19.п)
Так как т = 2п ^ 4, то п ^ 2. Поскольку (3 - примыкающая вершина, то к >
0. Следовательно, 2к + (2п - 3)и > 0, и из последнего равенства (6.19.п)
вытекает, что
[an-l]/3+(n-2)a = (6.20)
При п = 2 коэффициенты аг, 6г,... не определены. Из (6.20) следует [ai]^
= 0. Так как I ф 0, сг ф 0 и [Л]^ ф 0, то из (6.19.1) получаем искомое
равенство к - 0.
Если гг ^ 3, то 2/с+(2п-5)гг > 0, и из равенств (6.19.2)-(6.19.n-1)
получаем последовательно [ап-2]/з+("_з)" = 0) • • •)
[ai]/3 = 0- Но
тогда из (6.19.1) снова вытекает к = 0, что и требовалось доказать.
Вернемся к общему случаю. Пусть а = (u,v) - вершина ?(S), наиболее
удаленная от начала координат. Если имеется несколько таких вершин,
находящихся на одинаковых расстояниях от нуля,
(XI /S XJ / S I
-v/s u/'s )' ГД6 S =
= фи2 + и2.
Матрица А ортогональна, она задает поворот плоскости на угол а =
arctg{v/u). Рассмотрим линейное преобразование плоскости R2 = {qi,q2}- q'
= ATq. Его можно расширить до канонического преобразования (q,p) -+
(q\p'), если положить р1 = А~1р.
Так. как матрица А ортогональна, то в новых переменных p',q' гамильтониан
(6.5) имеет тот же вид. В знаменателе будет функция A(q), где q = (,4T)~V
= Aq'. Ясно, что функция A'(q') = A(Aq') периодична по новым координатам
с периодом 2ж/s\ следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье. Этот ряд
будет иметь столько же гармоник, сколько ряд Фурье функции A{q\,q-i).
Множество S' для тригонометрического многочлена Л', очевидно, получается
