Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
от z = qx + iq2 (лемма 1 из § 2 гл. III).
Лемма 3. Справедливо соотношение ao + ibo = с\ + ic2 = = const.
Действительно, ввиду периодичности коэффициентов интеграла F, голоморфная
функция F* ограничена. Следовательно, она постоянна.
407
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
Далее полагаем ао = ci, 60 = 02. Так как (6.7) - интеграл
дифференциальных уравнений Гамильтона % = Рк = Л-1 Н-
oqk
(к = 1,2), то
г2.+1 = л-'я"+1 (""|^ + (,"!?) +
+ л~'я" ++++ " ¦
. . . +A~1Il(ci |^p^"+2nCi |~PlP2,'~1 + (2n+:l)c2|^P2nj = °- (6'8)
Отсюда получаем цепочку уравнений в частных производных, которым
удовлетворяют коэффициенты полинома (6.7):
даг ^dbx dA _
я----1" я гя- - '
dq2 dqx dq2
да\ db\ дА . дА
- - 1- --|-с 1--1- (2п + 1)с2д- = 0, (6.9.1)
dqi dq2 dqi dq2
da2 db2 . dA
- h b 2(n - l)ai ------------0,
dq2 dqi dq2
da2 db2 n.dai dA . dA " ,лпо,
- - b д b 2Л---------------Ь ai---b (2n - l)frij;- - 0, (6.9.2)
dqi dq2 dqi dqi dq2
dan dbn dA _
я я 2a"-i я '
dq2 dqi dq2
dan dbn ", dan_i dA dA . .
- - \r - Ь 2Л- Ь fln-io-----------------b36n_i-- - 0, (6.9.n)
dqi dq2 dqi dq{ dq2
2Л^ + ""^ + 6.^ = 0. (6.9.0)
091 dq2 dq2
Уравнения (6.9.1) получаются из (6.8) после сокращения на
А~1Н и подстановки pi = 1, р2 = г. Выведем уравнения
(6.9.2).
Для этого перепишем уравнение (6.8) после сокращения на А~1Н и некоторой
перегруппировки слагаемых:
^ai 2 2л-2 , (dai dbi " dA\ 2n-i
§ 6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков
Воспользуемся тривиальным тождеством р2р\п~2 = 2AHp2/1 2-р\п-С учетом уже
полученных уравнений (6.9.1), соотношение (6.10)
принимает вид (¦ ¦ -)Н -\-2AH-^-р^1~2 = 0. Снова сокращая на Н и
подставляя р\ = 1, Рг = h получаем уравнения (6.9.2). Остальные уравнения
цепочки (6.9) выводятся тем же способом.
Для решения системы уравнений (6.9) воспользуемся методом Фурье. Положим
ат = ът = ^[Ьт}иуе^+^.
Уравнения (6.9.1) линейные и поэтому легко решаются:
<"2+*2>(йг:
= (_"L~+2T)L (W,J)
Уравнения (6.9.2) нелинейны, поэтому здесь нельзя получить простые
формулы вида (6.11.1). Воспользуемся приемом, примененным в § 5 гл. IV.
Пусть ?{S)- выпуклая оболочка множества 5. Это выпуклый многоугольник,
причем начало координат является его центром симметрии. Пусть (и, v) -
одна из вершин ?(S). Легко понять, что коэффициенты Фурье [a2]2U,2v и
[Ь2Ьи> выражаются только через коэффициенты Фурье функций щ, Ъ\, Ас
номерами и, v:
2(и2 + v2) (
\ [огЫ.гч
Зц2 - 2(п - l)i>2 (2?i- l)uv
-(2п+1)ш> -(2п - l)v2 ) V 1 W [ЬЛ1-2)
Этот метод позволяет получить аналогичные формулы для коэффициентов
[а*]*",ь и [6*]ь,ь- Выпишем, например, явные формулы при к = п:
"(и2 + v2) (
\ [^njnu.nv
= / (2п - 1)и2 - 2v2 3uvЛ /К-1]("-1)и,(п.-1)Л [л]и1 (6 П п)
\ ~(2n+l)uv -3v2 J V [bn-l](n-l)u,(n-l)v /
Уравнение (6.9.0) дает еще одно соотношение:
(271 -Ь l)u[an]miini, -f- c[6n]mjm; 0. (6.11.0)
409
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
Учитывая (6.11.1)-(6.11 .гг) и (6.11.0), окончательно получаем
((2п + 1 )и v) ( (2n - " 2у2 3uv } х
((2n + 1 )и, v) ^ _(2n + 1) wu _3у2 J х
{ (2гг - 3)и2 - 4v2 5uv \ f 3и2 - (2?! - 2)v2 (2п - 1 )uv \
Х у - (2п+1)чг> -5г!2/'"\ -(2п+ l)uv -(2n-l)v2/
( u2-2nv2 (2п+1)игЛ /с, \ n /fil9v
\-(2n+l)uv-(2n+l)v2J\C2j
Лемма 4. Левая часть соотношения (6.12) равна
(2гг + 1)!! (ci cos ma + C2sin та), (6.13)
где m = 2п + 1, tga = v/u.
Это любопытное матричное тождество доказано в п. 7. Ясно, что a - угол
между лучом, проходящим через вершину (u, v) ? 5, и горизонтальной
координатной осью.
Сопоставляя (6.12) и (6.13), получаем
tgma = - с\/сг- (6-14)
Это соотношение, очевидно, справедливо для всех вершин выпуклой оболочки
спектра S. Решениями уравнения (6.14) являются m углов a, a + 7г/т, a +
2л/т,..., а + (т - 1)7г/т, отсчитываемых от горизонтальной оси.
Следовательно, многоугольник ?(S) может иметь не более 2т вершин,
расположенных на прямых Iь ... ,/т, которые проходят через начало
координат и образуют между собой углы
ж/m, 2ж/т,..., (?п - \)ж/т. (6.15)
Л е м м а 5 (см., например, [173а]). Пусть 0 < (3 < ж/2, (3^ ф ж/4 и (3 -
рж/q, где р, q -натуральные числа. Тогда tg 3 - иррациональное число.
Следствие. Если m нечетно, то тангенсы углов (6.15) иррациональны.
Предположим теперь, что множество S не лежит на одной прямой. Тогда
найдутся две различные прямые /[ и /2, проходящие через начало координат
и содержащие две вершины выпуклой оболочки S. Тангенс угла между 1\ и
рационален (рациональны тангенсы углов, которые составляют прямые 1\, 12
с координатной осью; остается воспользоваться известной формулой для
тангенса разности). С другой стороны, угол между прямыми Ij и 12 равен
одному из углов (6.15). Согласно следствию из леммы 5, тангенс
410
§ 6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков
этого угла иррационален, если т нечетно. Полученное противоречие
доказывает теорему 3 для случая интеграла нечетной степени.
Пусть теперь т = 2п. С учетом лемм 1 и 3 интеграл четной степени можно
представить в виде
Fn = cipipl(tm) 1 + С2р\п + H(a\pip\n 3) + bipf1 2) + ...
