Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
построить следующим образом. Рассмотрим обобщенную цепочку Тоды с
гамильтонианом (4.10), в котором коэффициенты г>з или г>4 равны нулю.
Этот гамильтониан имеет вид (6.1), а соответствующие уравнения Гамильтона
допускают полиномиальный по импульсам интеграл степени п = = 6. Остается
применить предложение 1. Пока не известны явные примеры метрик с
интегралами степени п ^ 7.
4. Обсудим теперь вопрос о неприводимых интегралах геодезических потоков
на замкнутых поверхностях. Анализ примеров и известных результатов из
этой области приводит к следующей гипотезе: степень неприводимого
интеграла геодезического потока на ориентированной поверхности рода р не
превосходит 4 - 2р.
При р ^ 2 эта оценка установлена в § 1 гл. III. Для тора (р = 1)
получаем, что степень неприводимого интеграла не превосходит двух. В п. 2
указаны примеры метрик на сфере, допускающих интегралы степени 3 и 4.
Ниже рассматривается случай р = 1. Хорошо известно, что для тора
изотермические координаты можно ввести в целом, поэтому будем считать,
что в (6.5) q\ и q2- угловые координаты на двумерном торе.
5. Теорема 2 [107 а]. Предположим, что уравнении Га-
405
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
мильтона с гамильтонианом (6.5) допускают однородный по импульсам
интеграл F, независимый от интеграла энергии Н, причем выполнено одно из
следующих дополнительных условий:
а) F - четная функция по р\ и ру,
б) F четна по р\ (р2) и нечетна по р2 (pi).
Тогда найдется дополнительный интеграл степени ^ 2.
Доказательство теоремы 2 опирается на результаты § 8 из гл. III.
Рассмотрим гамильтоново поле симметрий, порожденное однородным
гамильтонианом степени т: F = fmflP? + /т-1,1РГ 1Р2 +
+ • • • + /о.тРг1- Поскольку Qk = dF/dpk (k - 1,2), то
Q^ = mfтд -|" (ш 1)У*т - 1Д2 (тп 2)У*т"2,2^ "Ь • * • i Q2 ~ fm-1,1 + 2/m-
2,2? + 3/т_ззг'2 + . . .
Напомним (см. п. 3 § 8 гл. III), что сг = Фх -Ф2, где Q\ = Фх + аФь QI =
Ф2 + Я>2. Следовательно, a = (m - 2)/m_u - (т - 6)/т_3,з + • • • Пусть
выполнено условие а) или условие
6i) F четна по р2 и нечетна по р\.
Тогда, очевидно, = /т-з,з = ... = 0, и, в частности, <т = 0.
Но тогда, согласно лемме 4 из § 8 гл. III, функция М = Л-1 удов-
" д2М (д2М д2М\ г , * ,
летворяет уравнению 2cj ---- = с2 -------------I. Ьсли с, +с2 ф
dqidq2 \ dqf dq% J
Ф 0, то, как доказано в п. 5 § 8 гл. III, уравнения Гамильтона допускают
интеграл не выше второй степени.
Рассмотрим теперь случай с\ = с2 = 0. По лемме 2 из § 8 гл. III
(dF dF X
имеем QX + iQX = --pi + --р2) = mF* = 0. Следовательно, \дрх др2 J
F - НФ, где Ф - однородный интеграл степени т - 2, имеющий вид а) или
6i). Индукция по убыванию m приводит к интегралу степени 5С 2.
В случае, когда F четна по р\ и нечетна по р2, функция (г, как правило,
отлична от нуля; однако этот случай сводится к бД простым
переобозначением переменных.
6. Изучим теперь уравнения Гамильтона с гамильтонианом
(6.5), где функция Л - тригонометрический многочлен. Этот случай
представляет значительный теоретический интерес, так как по теореме
Вейерштрасса системы такого вида образуют всюду плотное множество.
Положим Л = ? S = {k = (кик2) е Ъ2 : Aklh ф
Ф 0}. Ясно, что S - конечное множество, инвариантное при отображении к ->
-к.
406
§ 6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков
Теорема 3 [1076]. Пусть уравнения Гамильтона с гамильтонианом (6.5)
допускают полиномиальный по импульсам интеграл F, независимый от
интеграла Н. Тогда:
1) если степень F четна, то S лежит на двух прямых, ортогонально
пересекающихся в начале координат;
2) если степень F нечетна, то S лежит на одной прямой, проходящей через
начало координат.
В первом случае уравнения геодезических интегрируются с помощью
разделения переменных, а во втором-существует скрытая циклическая
координата.
Следствие. Если уравнения геодезических на торе допускают дополнительный
полиномиальный интеграл F, то найдется независимый от функции Н
полиномиальный интеграл степени
2. Если при этом степень F нечетна, то существует линейный интеграл.
Из теоремы 3 с учетом предложения 1 вытекает теорема 1 из § 5 гл. IV (но
в частном случае: когда имеется всего две степени свободы и матрица
\\а^\\ единичная).
Ниже дано доказательство теоремы 3. Пусть Fm - однородный интеграл
степени т. Как и раньше, через будем обозначать значение функции Fm при
рх = 1, р2 = *'• Пусть т ^ 3.
Лемма 1. Найдется такой многочлен Fm-2, что Fm = = OoPlP^""1 + boP2 +
HFm^ 2.
Действительно, положим F?, = (г)т_1(оо + boi)• Тогда, по лемме 4 из § 2
гл. III, однородный многочлен Fm - ooPiPj* 1 - ^оР(tm) степени m делится
нацело на Н, что и требовалось доказать.
Лемма 2. Полином степени 2n + 1 по импульсам можно представить в виде
F2n+i = aoPiP2n + ьоР2П+1 + H(axpip2n 2 + bxp2n г) + ...
... + Hn{anpi + bnp2), (6.7)
где ao, b0, ..., a", bn-гладкие вещественные функции на Т2.
Доказательство основано на индуктивном применении леммы 1.
Так как F2n+x- интеграл геодезического потока, то - голоморфная функция
