Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Если геодезический поток вообще не допускает дополнительного
полиномиального интеграла, то степень неприводимого интеграла можно
считать равной нулю. Ясно, что любой интеграл уравнений геодезических
есть функция от неприводимого интеграла и гамильтониана Н.
Список интегрируемых метрик можно расширить с помощью принципа Мопертюи.
С этой целью рассмотрим обратимую систему с гамильтонианом
где V - потенциальная энергия. Полиномиальные по импульсам интегралы этой
системы уже не однородны:
Предложение [107а]. Пусть система с гамильтонианом
(6.1) имеет полиномиальный интеграл (6.2) степени п, независимый от
гамильтониана (6.1). Тогда система с гамильтонианом
допускает однородный полиномиальный интеграл степени ^ п.
Доказательство. Прежде всего заметим, что скобка Пуассона двух однородных
по импульсам полиномов степени г и s будет однородным полиномом степени г
+ s - 1. Отсюда вытекает следующий факт: если сумма (6.2) - интеграл
гамильтоновой системы с гамильтонианом (6.1), то функции Fn + Fn-% + ...
и F"_i + • также будут интегралами этой системы. Наконец,
однородные по импульсам полиномы
являются интегралами геодезического потока с метрикой (6.3). Поскольку
функции (6.1) и (6.2) независимы, то один из полиномов (6.4) независим от
гамильтониана (6.3), что и требовалось доказать.
2. Имеются многочисленные примеры метрик, допускающих интегралы первой
и второй степени. Однако не так просто привести примеры метрик с
интегралами степени ^ 3 (особенно в тех случаях, когда речь идет об
интегралах, заданных во всем фазовом пространстве).
Я = Т + И,
(6.1)
F = Fn + Fn i + ... + F0.
(6.2)
Я' = T/(h - И), h > шах V,
(6.3)
2
(6.4)
403
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
Пользуясь предложением 1, укажем метрики на двумерной сфере, для которых
уравнения геодезических допускают неприводимые интегралы 3-й и 4-й
степени. С этой целью рассмотрим задачу о вращении тяжелого твердого тела
с неподвижной точкой. Эта система с тремя степенями свободы инвариантна
относительно группы вращений вокруг вертикали. Фиксируя нулевую
постоянную соответствующего интеграла Нётер (интеграл площадей) и проводя
факторизацию по орбитам действия группы симметрий, сведем эту задачу к
системе с двумя степенями свободы на фазовом пространстве T*S2.
Гамильтониан имеет вид (6.1), где Т - гамильтониан приведенной задачи
Эйлера, а V : S2 -> R - потенциальная энергия силы тяжести. Если
выполнены условия Горячева - Чаплыгина или Ковалевской (см. § 5 гл. II),
то уравнения с гамильтонианом T+V допускают дополнительный интеграл
соответственно третьей и четвертой степени по скоростям. Предложение 1
дает метрики на двумерной сфере с интегралами степени 3 и 4. При V = 0
эти интегралы приводимы. А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко дали
доказательство неприводимости интегралов Горячева - Чаплыгина и
Ковалевской, основанное на глубоких идеях теории топологической
эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем.
Не известны примеры римановых метрик на двумерной сфере, допускающих
неприводимые интегралы степени m ^ 5. Не исключено, что таких метрик не
существует.
3. Какие значения может принимать степень неприводимого
полиномиального интеграла? Сначала рассмотрим локальный аспект этой
задачи. В локальных изотермических координатах гамильтониан
геодезического потока приводится к виду
m
где А = A(qi,q2) - некоторая положительная функция, заданная в
окрестности точки qi = q2 = 0.
Теорема 1. Для любого целого п ^ 1 найдется такая аналитическая функция
А, что система с гамильтонианом (6.5) допускает неприводимый интеграл
степени п с аналитическими (в малой окрестности точки qi = q2 = 0)
коэффициентами.
Укажем схему доказательства теоремы 1 (ср. с п. 2 § 3). Пусть
F = anpi + a"_ip"_1p2 + an~2Pi ~2P2 + • • • + ai P1P2 1 + "оР2 " интеграл
системы с гамильтонианом (6.5). Приравнивая нулю производную функции F,
получаем систему п 2 уравнений первого порядка в частных производных
относительно п + 2 функций А,
404
6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков
Лщ 1) • • • 1 00-
дап п дк ап_ 1 ЗА
--Л + -ап- 1------- - - О,
а91 2 dqi 2 dgs
аа" А , a"_i л , п -1 ал i ал _ п
--Лн--------Л Н -ап- (- ап-2й -0, , ч
dq2 qi 2 а?! dq2 (6.6)
ai ал ao п ал Т% + ^Л+2%"°'
При щ ^ О эту систему можно разрешить относительно про-
ал дап аоо
изводных --, --,...,--. Следовательно, применима теорема
а?1 dqi dqi
Коши - Ковалевской: набор функций Л, ап,..., ао, как аналитическое
решение системы (6.6), однозначно определяется своими значениями на
прямой q\ = 0.
Итак, системы с аналитическими гамильтонианами (6.5), допускающие
полиномиальные интегралы степени п, параметризуются семейством п+ 2
аналитических функций одной переменной. Можно показать, что среди этих
систем найдутся такие, которые не имеют интегралов степени ^ п - 1.
Было бы интересным указать явный вид метрик с неприводимым интегралом
произвольной степени п ^ 5. Метрику с интегралом шестой степени можно
