Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
точки to и t\. Говорят, что голоморфная функция z(-) допускает
аналитическое продолжение вдоль пути /, если его можно покрыть конечной
сис-
328
§ 1. Метод малого параметра Пуанкаре
темой открытых кругов с центрами в точках из I и так задать в этих кругах
голоморфные функции, чтобы
1) в пересечении соседних кругов эти функции совпали;
2) голоморфная функция, заданная в первом круге, совпадала в малой
окрестности точки to с функцией z(t).
Зная голоморфную функцию, определенную в последнем (содержащем точку ti)
круге, можно найти значение z(t) при t = t\. Однако это значение
существенно зависит от выбора пути I, соединяющего точки to и t\.
Имея локально голоморфное решение t -> z(f), определенное при малых
значениях t - t0, можно построить аналитическую функцию, аналитически
продолжая z(-) вдоль всех путей с началом в точке to, вдоль которых такое
продолжение возможно. Ясно, что эта функция будет удовлетворять уравнению
(1.1).
Аналитическая функция может оказаться многозначной: аналитическое
продолжение вдоль разных путей сопоставляет точкам комплексной плоскости
С = {?} несколько (даже счетное множество) значений. С многозначными
функциями оперировать неудобно, и поэтому вместо плоскости С = {?} обычно
рассматривают многолистные поверхности, которые можно представлять себе
расположенными над комплексной плоскостью и имеющими столько "листов",
сколько значений имеет аналитическая функция в этой точке. На таких
поверхностях (называемых римановы-ми) аналитические функции являются
обычными однозначными голоморфными функциями. Детальное изложение этих
вопросов можно найти, например, в книге [167].
Рассмотрим теперь аналитическую систему дифференциальных уравнений,
содержащую малый параметр:
Оказывается, решения этой системы можно разлагать не только по степеням t
- t0, но и по степеням е.
Теорема Пуанкаре. Предположим, что выполнены следующие условия:
1) система (1.2) при е = 0 имеет решение Zo(t), аналитическое вдоль
некоторого непрерывного пути I, идущего от точки to до точки t,\;
2) компоненты векторного поля Vk(z,e) (1 ^ k ^ п) голоморфны в прямом
произведении Е х {е : |е| < ?0}, где Е-некоторая окрестность множества {г
Е С" : г = zo(t), t ? I).
Тогда существует такое аналитическое решение системы (1.2)
z = v{z,e), z € С1.
(1.2)
z(t,s) = zo(t) 4- ez^t) + ...
(1.3)
329
Глава VII. Ветвление решений
с начальным условием z(to,s) = zo(to), что ряд (1.3) сходится при всех t
6 I, если г достаточно мало.
Доказательство теоремы Пуанкаре можно найти, например, в [146, гл. II]
или в [42].
Если v = v0(z) + ev\(z) + ..., то функция zi{-) удовлетворяет
уравнению i\ = TqZi + vi(z0{t)), v'0 = Эту линейную
az
систему надо решать с нулевыми значениями при t = to- В частности, если
то = const, то
Zi= [ Vi(z0(t))dt, (1.4)
Jt0
причем интеграл (1.4) вычисляется вдоль пути /.
Пусть теперь I - контур (замкнутый путь) на плоскости комплексного
времени t. Будем говорить, что аналитическая вектор-функция неоднозначна
вдоль /, если она имеет ненулевое приращение (скачок) после обхода
контура 7. Предположим, что все решения "невозмущенной" системы (1.2)
однозначны на плоскости С = {?}. Тогда теорема Пуанкаре позволяет
эффективно исследовать задачу о ветвлении решений системы (1.2) при малых
ненулевых значениях параметра е. Все сводится к вычислению интегралов
вида (1.4) по замкнутым контурам. В приложениях подынтегральные функции
обычно являются мероморфными. Поэтому, согласно теореме Коши, задача о
ветвлении решений сводится, по существу, к вопросу о наличии полюсов с
ненулевыми вычетами.
2. Рассмотрим в комплексной области "основную проблему динамики" по
Пуанкаре. Пусть Dq,s = {у € С71 : Re у G D С Еп, |1тг/| < 6}, Т? =
Cn/27rZn - комплексный тор (над полем вещественных чисел это "цилиндр" -
прямое произведение Т71 х R71) с комплексными угловыми координатами
х\,..., xn mod 2л-, Е - некоторая окрестность нуля в С. Пусть Н(у,х,г) :
Dcts х Т? х х Е -* С - голоморфная функция, которая при действительных
значениях у, х, е принимает действительные значения, причем II(у, х, 0) =
Н0(у).
Прямое произведение х снабжено простейшей симплектической структурой, в
которой уравнения Гамильтона с гамильтонианом Н имеют канонический вид
dy dH dx дН
*=-&• Н = н0 + гн1 + ... (1.5)
Все решения системы с функцией Гамильтона Но однозначны на комплексной
плоскости времени t ЕС: у - у0, х - х° + cv(y°)t. При е ф 0 решения
"возмущенных" уравнений (1.5), вообще говоря, уже
330
§ 1. Метод малого параметра Пуанкаре
неоднозначны. Пусть 7- некоторый замкнутый контур на комплексной
плоскости времени. Согласно теореме Пуанкаре, решения уравнений (1.5)
можно разложить в степенные ряды:
у = у°+еу1 (t)+e2y2(t)+ ..., х - x°+ut+ex1 (t)+e2x2(t) + yl(0) = у2(0) =
... = х>(0) = *2(0) = ... = 0,
сходящиеся при малых значениях параметра е, если t ? 7.
Изучим ветвление переменных действие у при малых*значениях параметра ? ф
0. Согласно (1.6), если вектор-функция yl(t) испытывает ненулевой скачок
