Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
типичной ситуации неспециальные поля симметрий являются гамильтоновыми.
Согласно теореме Биркгофа, гамильтониан Н можно привести к нормальной
форме: Н = К2 + К4 + К6 + ..., где К2т - однородная форма степени m от
произведений = х3у3. В частности, Ка -
- a^jOJ^ijj.
Предложение 2. Если det ||а/у || ^ 0, то в (4.7) аг = - [Зг для всех г =
1,..., п.
Неспециальное поле симметрий однозначно определяется своей линеаризацией
(см. предложение 1), поэтому при невырожденности формы КА оно оказывается
гамильтоновым. В частности, вопрос о наличии таких полей сводится к
задаче о дополнительных интегралах, аналитических в окрестности
равновесия.
Доказательство предложения 2 основано на анализе условий коммутирования
операторов (4.4), включающих формы четвертого порядка; несложные, но
громоздкие вычисления опущены.
д
0
(4.7)
326
ГЛАВА VII
ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ И ОТСУТСТВИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть М^п - комплексное симплектическое аналитическое многообразие (все М
покрыто некоторым набором комплексных карт из С2п = {/>, (?}, причем
переход от карты к карте является обратимым голоморфным каноническим
преобразованием). Любая аналитическая (в смысле функций комплексного
переменного) функция H(p,q,t) : М2п х С -* С задает некоторую
комплексногамильтонову систему dp/dt = -dH/dq, dq/dt = дН/др. Естественно
рассмотреть задачу о существовании у этой системы дополнительных
голоморфных (или, более общо, мероморфных) первых интегралов. В
большинстве проинтегрированных задач гамильтоновой механики известные
первые интегралы продолжаются в комплексную область изменения
канонических переменных до некоторых голоморфных или меромофных функций.
В этой главе будет показано, что ветвление решений гамильтоновых систем в
плоскости комплексного времени в общем случае препятствует появлению
новых однозначных первых интегралов.
Задачи подобного рода впервые возникли в динамике тяжелого твердого тела
в связи с исследованиями Ковалевской, Ляпунова, Гюссона и других авторов:
оказалось, что общее решение уравнений движения представляется
однозначными мероморфны-ми функциями времени только в классических
случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской - как раз тогда, когда существует
дополнительный однозначный полиномиальный интеграл. Долгое время
оставалось неясным, является ли это обстоятельство случайным совпадением
или же в его основе лежат какие-то глубокие причины.
Основываясь на этих результатах, П. Пенлеве поставил общую задачу о связи
между мероморфностью общего решения аналитических систем дифференциальных
уравнений и наличием нетривиальных полиномиальных (или, более общо,
алгебраических) интегралов. Однако оказалось, что однозначной связи здесь
нет. Приведем соответствующие примеры для гамильтоновых систем
327
Глава VII. Ветвление решений
с двумя степенями свободы. Пусть Н = р\ + q\ + р% + f (172), где / -
многочлен не ниже пятой степени. Соответствующие уравнения Гамильтона
допускают два независимых полиномиальных интеграла р\ + q\, Р2 + f (<72))
однако почти все их решения неоднозначны на плоскости комплексного
времени.
Обратно, пусть Н = pi -\-рУ2 - <71(72 - 2д|- Можно показать, что все
решения уравнений Г амильтона с этим гамильтонианом являются мероморфными
функциями, но не существует интеграла в виде полинома по р, д,
независимого от Н (см. [83], гл. V).
Актуальность задачи Пенлеве неоднократно подчеркивалась в известных
книгах В. В. Голубева [42, 43]. Он же предложил естественное расширение
этой задачи: выяснить связь между ветвлением решений как функций
комплексного времени и наличием однозначных первых интегралов. Как будет
показано ниже, при определенных дополнительных условиях общего характера
задача Пенлева - Голубева имеет положительное решение.
§ 1. Метод малого параметра Пуанкаре
1. Сперва напомним некоторые простые факты из аналитической теории
дифференциальных уравнений, необходимые нам для дальнейшего. Рассмотрим
систему уравнений
!="м, "л)
где z = (zi,..., zn) - набор п комплексных координат, t - комплексная
переменная, играющая роль времени. Предположим для простоты, что
компоненты векторного поля v - голоморфные функции в С". Приводимые ниже
рассуждения с небольшими изменениями переносится и на более общий случай
локальных координат z на n-мерном комплексном многообразии.
Согласно известной теореме Коши, уравнение (1.1) имеет единственное
решение z(t), принимающее при заданном to € С заданное значение zo (Е Сп,
т. е. z(t0) = Zo; это решение голоморфно в некоторой малой окрестности
точки t0. Будем искать z(t) в виде ряда по степеням t - to, коэффициенты
которого однозначно определяются начальным значением zo, а сам ряд
сходится при малых значениях t -10.
Возникает вопрос: можно ли определить значение функции z(t) в точке ti,
отстоящей от to на достаточно большое расстояние? Ответ на него связан с
решением задачи аналитического продолжения локально голоморфной функции.
Пусть I - непрерывный путь в комплексной плоскости С = {t}, соединяющий
