Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
гамильтоновы уравнения редуцированной системы допускают интеграл,
независимый от интеграла энергии и аналитический по параметру с.
Редуцированная система имеет положения равновесия, в которых векторы со и
е коллинеарны. В некоторой области изменения физических параметров
рассматриваемой задачи частоты линеаризованной системы чисто мнимы. В
окрестности относительных
11*
323
Глава VI. Неинтегрируемость около положений равновесия
равновесий гамильтониан имеет вид Я = Яг + Яз + . • • Оказывается, если
а^1и!^ М, то редуцированные уравнения движения не допускают интеграла,
аналитического по с, первая нетривиальная форма которого была бы
независима от квадратичной формы Яг-Ясно, что значение а = 1 отвечает
интегрируемому случаю. При а - 2 и нулевом значении постоянной интеграла
площадей с имеется частный случай интегрируемости, обнаруженный С. А.
Чаплыгиным. Однако интеграл Чаплыгина не продолжается в область ненулевых
значений параметра с.
Результат Д. А. Онищенко дополняет теорему 2 § 4 гл. V, но устанавливает
неинтегрируемость уравнений движения в более слабом смысле.
1. Пусть снова х = у = 0 - положение равновесия гамильтоновой системы
с гамильтонианом Я = Я/t. Предположим, что
собственные числа линеаризованной системы Аь ..., А" рационально
несоизмеримы. В частности, в подходящих канонических координатах форма Я2
имеет вид суммы
Если числа А; чисто мнимы, то для приведения Яг к виду (4.1) используется
линейное каноническое преобразование с комплексными коэффициентами (см. §
1).
Гамильтониану Я отвечает оператор дифференцирования вдоль гамильтонова
поля vy.
(многоточия обозначают слагаемые порядка ^ 1). Пусть и - векторное поле с
аналитическими (или формально аналитическими) компонентами, являющееся
полем симметрий для гамильтоновой системы с функцией Гамильтона Я. Тогда
линейный дифференциальный оператор
коммутирует с оператором (4.2). Здесь АД V)' - некоторые однородные формы
по координатам х, у степени s. Все А} отличны
§ 4. Поля симметрий в окрестности положений равновесия
2
П
(4.1)
(4.3)
§ 4- Поля симметрий в окрестности положений равновесия
от нуля, поэтому положение равновесия рассматриваемой гамильтоновой
системы изолировано. Отсюда вытекает, что и = 0 при х = у = 0.
Следовательно, в (4.3) s ^ 1.
Векторное поле и назовем специальным, если хотя бы одна из форм X* (или )
имеет члены вида a.r,.(:r1yi)Ul ... (хпуп)а'' (соответственно b
yr{xiyi)a' ... (хпуп)а") с ненулевыми коэффициентами. В дальнейшем нас
будут интересовать лишь неспециальные поля симметрий.
В предположении о независимости собственных чисел Ai,..., А" гамильтонова
система имеет п неспециальных линейно независимых гамильтоновых полей.
Действительно, согласно лемме 1 § 1, уравнения Г амильтона допускают п
независимых формальных интегралов Fj = XjUj + ..., не содержащих
специальных слагаемых вида схауа. Очевидно, что гамильтоновы поля vp
являются неспециальными полями симметрий.
2. Характерное свойство неспециальных полей устанавливает
Предложение 1. Если и - нсспсциальное поле симметрий, то формы X;', Уг"
(.s 2) однозначно определяются линейны-
ми формами XI,..., Х^, Vj1,..., У^.
Доказательство. Условия коммутирования операторов
(4.2) и (4.3) приводят к равенствам
где Ф", Ф*-однородные формы от х, у степени s, коэффициенты которых
зависят от коэффициентов форм X1, Yq (1 ^ I ^ s - 1). Поэтому цепочку
уравнений (4.4) надо решать последовательно.
где Vk,m - некоторые известные числа. Поскольку Ai,..., А" рационально
независимы, то коэффициент в квадратных скобках обращается в нуль лишь в
том случае, когда kj = nij (J ф г) и kr = mr + 1. Эти соотношения
отвечают слагаемым специального
(4.4)
Пусть
|fc| -f |m| = s ^ 2. (4.5)
Тогда из первого уравнения (4.4) получим соотношение
(4.6)
325
Глава VI. Неинтегрируемость около положений равновесия
вида в сумме (4.5), которые отсутствуют согласно предположению. Ввиду
(4.6), остальные слагаемые в (4.5) находятся однозначно.
Тем же способом решается второе уравнение системы (4.4). Предложение 1
доказано.
3. Найдем вид линейных форм X,! и У)1 в (4.3). Они удовлетворяют
уравнениям (4.4) с нулевыми правыми частями. Положим X) = Ylajxj +
(aj'0f ~ const). Тогда, ввиду первого урав-
нения (4.4), )Г)(Ау - Ar)ajXj - ?)(А,- + K)0jVj - 0. Следовательно, (Aj -
Хг)ад - 0, (Aj + Лr)(5j = 0. Поскольку А, = Хг только при j = г, и Xj +
Аг ф 0, то cxj = 0 при J 7= г, и f3j - 0 при всех j. Поэтому XI = схгхг.
Аналогично доказывается, что Y) = (iryr.
Итак, линеаризованный оператор (4.3) имеет вид
Он является оператором дифференцирования вдоль гамиль тонова векторного
поля лишь при условии аг + /3, = 0 (1 ^ г ^ п).
Предположим, что Н = Hi. Тогда при всех значениях ar,f3r операторы (4.2)
и (4.7) будут коммутировать. Следовательно, гамильтонова система в
окрестности равновесия может иметь негамильтоновы поля симметрий.
Отметим, что линейные поля (4.7), очевидно, неспециальные. Оказывается, в
