Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
серию уравнений
{tf2,F2} = 0, {tf2,F3} +{tf3,F2} = 0, ...,
{H2,Fm} + ... + {Hm,F2} = О,...
Покажем, что функции F2,..., Fm...[ не зависят от у>. Для функции F2 это
уже доказано в лемме. Так как Н3 не зависит от у?, то {H3,F2} = 0,
поэтому {H2,F3} = 0. Согласно лемме, F3 тоже не зависит от <р, и т. д. С
учетом этого замечания уравнение для Fm можно записать в виде {H2,Fm} +
{Hm,F2} = 0. Если Fm =
= то
Положим к - ко, е - ео- Тогда (ш, к) = 0, a ф 0. Следователь-
но-(ж1"д'°) = 0-
Если наши уравнения имеют п интегралов Fi,...,Fn, то при ? - ?о получим п
линейных уравнений
ТТ*-)--
Так как к0 ф 0, то квадратичные формы F^1-,..., F^ зависимы при ? = ?q.
Теорема 1 доказана.
Хотя доказательство теоремы несложно, ее применение в конкретных задачах
наталкивается на довольно громоздкие вычисления, связанные с
нормализацией гамильтонианов.
3. В качестве первого примера рассмотрим задачу о вращении вокруг
неподвижной точки динамически симметричного (1\ = 12) твердого тела,
центр тяжести которого лежит в экваториальной плоскости эллипсоида
инерции. Среди таких случаев находится наибольшее число интегрируемых.
Единицы измерения массы и
П Козлов В. В.
321
Глава VI. Неинтегрируемость около положений равновесия
длины можно выбрать так, чтобы моменты инерции 1\, Г и параметр ? -
произведение веса тела на расстояние от центра масс до точки закрепления
- стали равны 1. Единственным параметром в этой задаче будет момент
инерции 1$.
На всех интегральных многообразиях {(/о>,7) = с, (7,7) - 1} приведенная
гамильтонова система имеет два положения равновесия; они соответствуют
равномерным вращениям тела вокруг вертикальной оси, при которых центр
тяжести постоянно находится под (над) точкой подвеса.
Угловая скорость сп такого вращения связана с постоянной площадей с
простым соотношением с - ±/3сп. Рассмотрим случай, когда центр масс
находится под точкой подвеса.
В окрестности этого равновесия функция Гамильтона Н редуцированной
системы с двумя степенями свободы имеет вид Н2 + + #4 + ... (члены
третьей степени отсутствуют). Коэффициенты зависят от двух параметров: х
= с2, у - 12У. Можно показать, что характеристические корни векового
уравнения чисто мнимы, если у > х/(х -f 1). Обозначим через ? область R2
= {х, у}, где выполнено это неравенство. Частоты находятся в отношении 1
: 3, если параметры х и у связаны равенством
¦•2 - 82ху + 9у2 + 118а- - 82у+ 9 = 0. (3.1)
9.т
Это - уравнение гиперболы; ее ветви при ж > 0, у > 0 целиком лежат в Е.
Из неравенства треугольника для моментов инерции (/1 -f I2 ^ ^ 13)
следует, что у ^ 1/2. Для любого фиксированного уо ^
1/2 существует такое хо, что точка (жо, у о) удовлетворяет
уравнению (3.1). Условие равенства нулю коэффициента в разло-
жении функции //4 можно привести к виду
9ж4 - ЮжЗу + х2у2 -
- 17ж3 + 58ж 2у - 7х у2 -
- 375ж2 - 86жу - 170у2 +
+ 541ж + 1700у - 1530 = 0. (3.2)
Алгебраические кривые (3.1) и (3.2) пересекаются в двух точках: (4/3,1) и
(7, 2), которым отвечают интегрируемые случаи Лагранжа (Д = /3) и Рис.
34
Ковалевской (1\ = 2/з) (рис. 34).
4. Рассмотрим плоскую круговую ограниченную задачу трех
322
§ 3. Неинтегрируемость систем, зависящих от параметра
тел. Уравнения движения астероида во вращающейся вместе с Солнцем и
Юпитером системе координат можно представить в гамильтоновой форме:
дН . дН
*< = д-, У* = ~ д- , s=l,2, дуа дха
н = \{у\ + 2/1) + *23/1 - *12/2 - F(xi,x2,р),
г, 1 - У У
v/(xi + у)2 + х\ y/(xi + у - I)2 + х\
Эта гамильтонова система имеет положения равновесия в точках х\ = 1/2 -
у, х2 - ±\/3/2, 2/1 = 2/2 = 0) которые называются лагранжевыми решениями
или треугольными точками либрации (см. гл. I). При 0 < 27у(1-у) < 1
собственные числа линеаризованной системы чисто мнимы и различны; их
отношение - отличная от константы функция параметра у. В случаях
соизмеримостей
третьего и четвертого порядка коэффициенты Ь^2 и h |4.) вычислены А. П.
Маркеевым при исследовании устойчивости треугольных точек либрации [122];
эти числа отличны от нуля. По-видимому, это же верно для всех (или почти
всех) резонансных соотношений. Из теоремы 1 вытекает, в частности, что в
окрестности точек либрации не существует даже формального нормализующего
пробразования Биркгофа, аналитического по параметру у.
5. Д. А. Онищенко провел аналогичные вычисления в задаче Кирхгофа о
движении твердого тела в жидкости. Точнее, он рассмотрел систему
уравнений
Но -I* со х loo - ехТе, c-f-ccxc - 0. (3.3)
где I = diag(A, В, С), J = diag(L, М, N). Как было показано в § 4 гл. V,
критерием интегрируемости уравнений (3.3) в несимметричном случае (когда
все числа А, В, С различны) является условие Клебша. При А = В ф С
условие Клебша дает L = М.
Итак, рассмотрим симметричный случай: А = В. Положим а = = А/С.
Зафиксируем положительную постоянную интеграла (е, е) и будем менять
значение интеграла площадей (1со,е) = с. Если уравнения (3.3) имеют
дополнительный аналитический интеграл, независимый от классических, то
