Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
окрестности начала координат.
§ 2. Неинтегрируемость обратимых систем
1. Как уже отмечалось, метод Зигеля не дает возможности доказать
неинтегрируемость конкретных гамильтоновых систем. Однако с его помощью
можно установить всюду плотность неин-тегрируемых систем в некоторых
подпространствах Н.
В качестве примера рассмотрим обратимое уравнение
8V
* = , ier, (2.1)
которое описывает движение материальной точки в силовом поле с
потенциальной энергией V(x). Уравнение (2.1), разумеется, можно записать
в гамильтоновой форме:
х = Н'у, у = -Н'х; Н = у2/2 + V(x). (2.2)
Пусть dV(0) = 0, V(0) = 0. Тогда точка х = 0 будет положением равновесия.
Положим V - Vk и предположим, что квадратичная форма У2 положительно
определена. Поэтому, в частности,
318
§ 2. Неинтегрируемость обратимых систем
равновесие х = 0 устойчиво. С помощью подходящего ортогонального
преобразования, не меняющего вида уравнения (2.1), V2 можно свести к
квадратичной форме Числа ад,... ,шп будут
частотами малых колебаний вблизи устойчивого равновесия х = 0. Пусть V -
пространство степенных рядов
^ 1 k - (&1> • • • 1
\к\>2
сходящихся в некоторой окрестности точки х = 0. Снабдим V топологией Т,
указанной в § 1 для пространства Н.
Теорема 1 [88]. В пространстве V с топологией Т всюду плотны точки, для
которых уравнения (2.1) не имеют интеграла F(x,x), аналитического в
окрестности точки х = х = 0 я независимого от интеграла энергии х2/2 +
V(x).
По-видимому, точки V € V, для которых преобразование Биркгофа к
нормальной форме сходится, образуют в V подмножество первой категории.
2. Докажем теорему 1 методом Зигеля (см. п. 2 § 1). Ограничимся для
простоты случаем двух степеней свободы и, кроме того, положим ш\ = 1, а>2
= ал Разложим гамильтониан (2.2) в ряд по однородным формам:
Н = Н2 + Н3 + ..., Н2 = (у\ + х\)/2 + {у\ + ш2х^}/2.
Сделаем линейную каноническую замену переменных х, у -> ?, ц с
комплексными коэффициентами:
.6 + й?1 "6 + Vi ,-6 + Щ2 1 г'Ь + г)2
K = -jT' Х' = ^Г' = *1 = ^, -д-
В новых переменных гамильтониан имеет вид (1.2):
я. >'й,,+**)+е ** (i)W2 (Эд" (ед*1 ¦
Коэффициенты hpq при слагаемых ?ртf линейно выражаются через Vk, причем
h(tm)=wm^ (2-3)
В п. 2 § 1 показано, что сколь угодно малым изменением только
коэффициентов вида Лаооб можно получить гамильтониан неинтег-рируемой
системы. Согласно (2.3), варьируя коэффициенты в разложении потенциальной
энергии V', мы, следовательно, будем варьировать ham,. Теорема доказана.
319
Глава VI. Неинтегрируемость около положений равновесия
§ 3. Неинтегрируемость систем, зависящих от параметра
1. Пусть х = у = 0 - положние равновесия аналитической гамильтоновой
системы с функцией Г амильтона
H{xi 2/>?) = Н2 + Н^ + ..., (х, у) € К2п.
Здесь е - параметр, принимающий значения из некоторой связной области D С
Мг; функция Гамильтона аналитична по г. Предположим, что при всех е € D
частоты линейных колебаний о;(г) = = (a;i(e),... ,о;п(?)) не
удовлетворяют ни одному из соотношений (ш, ш) = miUJi + ... + mnojn = 0
порядка |mj| + ... + |ш"| ^ т - - 1. Применяя метод Биркгофа (см. § 11
гл. II), в окрестности положения равновесия можно найти каноническое
преобразование ж, у -> p,q, аналитическое по е и такое, что в новых
координатах
1 "
Я2 = гУHk(pi,...,pn,s), fc^m-1,
2
где pi = р\ + qf.
Теперь перейдем к каноническим переменным действие - угол 1,<р по
формулам /, = Pij2, <р,- = arctg (1 ^ г ^ п). В переменных I, ip
гамильтониан имеет вид
Н = H2{I,s) + ...-)- Hm-i{I,s) + Hm(I,tp, ?) + ....
Представим тригонометрический полином Нт в виде конечного ряда Фурье: Нт
= ? (I,?)е^к'^.
Теорема 1 [77]. Предположим, что (к,ш(е)) ф 0 при всех к ?ЪП\ {0}. Пусть
при некотором ?0 € D выполнено резонансное соотношение (ko,u>(s0)) = 0;
|fco| = m и ф 0. Тогда канонические уравнения с гамильтонианом Н = Hf не
имеют полного набора (формальных) интегралов Fj = Y1 F^\ квадратичные
части которых F^\x, у, ?) независимы при всех ? ? D.
Заметим, что при выполнении условий теоремы могут существовать
независимые интегралы с зависимыми (при некоторых значениях ?)
квадратичными частями их разложений Маклорена. Вот простой пример:
канонические уравнения с гамильтонианом
Н - (х j + у\)/2 + ?{х\ + yl)/2 + 2х\у\у2 - Х2у\ + х\х2
имеют интеграл F = х\ + у\ + 2{х\ -)- г/|)> зависимый при ? = 2 с
квадратичной формой Н2, однако все условия теоремы выполнены.
320
§ 3. Неинтегрируемость систем, зависящих от параметра
2. Теорема 1 доказывается при помощи метода Пуанкаре. Сперва докажем
простое вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть функция Ф аналитична по I, <р, е и
2тг-периодична по <р. Если {Н2,Ф} = 0, то Ф не зависит от ip.
Действительно, пусть Ф = ^Фk{I,e)el^k''p\ Поскольку {Н2,Ф} = =
к(1,г)е^к'^ = 0, и (к,ш(е)) ф 0 при к ф 0, то
Фк(1,г) ф 0 только при к = 0, что и требовалось доказать.
Пусть F(x,y,e) = FS(I, <р, е) - формальный аналитический интеграл
канонических уравнений с гамильтонианом Н. Из условия {Н, F} = 0 получим
