Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
1+1
(?urn + rju^G = ^2,Фки\и1^1'к,
*=о
к
(T]v2)k+1ipk = )РФР , к = О,..., /.
р~ О
к
Так как мы рассматриваем случай |?| ^ 177I, то |77| ||<р*.|| ^ ^ ||Ф^||.
р-о
Теперь ||G|| есть максимум чисел (0 ^ к ^ /), и ||(?uit/i + + r]u2v2)G\\
- максимум чисел ||Ф*:|| (0 ^ к ^ 1 + 1), поэтому имеет место неравенство
|т7| ||G|| ^ (I + l) ||(?itit/i + r)u2v2)G\\. Учитывая дополнительно |?|
+ |т7| ^ 2|77I и 1+1 ^ г+1, получаем оценку (1.4). Лемма 2 доказана.
Следующее утверждение - ключевое в методе К. Зигеля:
!Х>
Лемма 3. Пусть s2 = щV\, и s = sk -формальный
к=2
интеграл из леммы 1. Если уравнения Гамильтона обладают схо-
312
§ 1. Метод Зигеля
дящимся интегралом, независимым от Н, то последовательность In
||s*.||/(A; Ink) (к = 2,3,...) ограничена.
Доказательство. Согласно лемме 1, каждый интеграл P(u, v) гамильтоновой
системы можно записать в виде степенного
ОО
ряда Р = Y1 ca/}SaH13. Если Р и Н независимы, то найдется хотя
а, /3=0
бы один коэффициент са/з ф 0 (а > 0) с наименьшим возможным значением a +
(3 = д. Пусть Р - сходящийся интеграл. Тогда то
9-1
же самое имеет место для выражения p(u, v) = Р - со^Н13. Раз-
/3=0
(X)
ложим этот интеграл в ряд по однородным формам: р = р*,
к=2д
г дер2д- Caps 2 Н2, Н2 = \\U\Vi + \2U2V2', по условию S2 =
a+/)=g
Для симметрии использованы обозначения Ai = г, Аг = ш. Полином
д " " Т. т^Г'и1 (1.5)
2 a+/3=g
не равен тождественно нулю. Так как он однороден по u\V\ и u2v2, его
можно записать в виде
g-i
А = сП^и^1 + r^U2V2), (1.6)
<3=1
где с ф 0 и постоянные ?д, щ не равны обе нулю (при каждом q, q =
l,...,g-\).
Обозначим через х, у, z какие-нибудь три из переменных щ, и2,
d(H,p,s)
гф v2. Поскольку р есть ряд по степеням s и й, то - г = 0.
d(x,y,z)
Вычисляя члены степени q - 3, получаем
? =0, 02j + 4.
Применим это соотношение к (x,y,z) = (щ,и2,ь 1) и (x,y,z) = = (ui,U2,V2).
Обозначая выражения
NT v- ?(На'Р^ ЧГ д(Яа,Р/3) , 9
5(^) ' 9(х>у) '
Q+/3=; V4/' ' a+0=l V ' ' a+(3=/ V '
313
Глава VI. Неинтегрируемость около положений равновесия
через Ац, А21, Ац и Вц, B2i, Вц соответственно, получаем
? (Ли!5+Л2гЙ+Лз'^) =0' (1-7)
/+7=9
+ + (1'8)
/+7=9
В дальнейшем у\,..., /24 -некоторые подходящие положительные постоянные,
не зависящие от встречающегося в формулах индекса к. Поскольку степенные
ряды Н и р сходятся, то ||П^|| < у\, Црлг|| < Р-i, к ^ 2д, и,
следовательно, \\dHk/dx\\ < ку\, \\дрк/дх\\ < < ку\. Многочлен дНк/дх
содержит Cf+2 членов, поэтому
<2"/3
д(х,у)
Пусть -фк обозначает один из шести полиномов А\к, ¦. ¦, В3к- Тогда ИчМ! <
/-4> к ^ 2д + 2, откуда, в свою очередь, получаем оценку
dsj
Ф'fe
(1.9)
^ Т^н-гМгН^у II-
Согласно (1.5), справедливо тождество
d(H2,p2g) _Ad(H2,s2) д(х,у) д{х,у)
Поэтому при I = 2д + 2 для Ац, A2h А31, Вц, В21, В31 получаем значения
Х2щи2А, 0, -X2viV2A, 0, X2v\u2A, -X2viv2A. Из (1.7)-(1.9) вытекает
неравенство
. dsk dsk
X2v2A ( щ- Ti -
UU\ uV\
( dsk dsk
+ X2ViA U27Г v2--
\ OU2 OV 2
< X>+3)4im^
7=2
Учитывая (1.6) и используя лемму 2, получаем
<
к-1
<
&+2(?+2-7 2
dsk dsk dsk dsk
-Щд^1 + Щди2 V2dv2
<fc9+3Eii^ii^, (i-ю)
7=2
314
§ 1. Метод Зигеля
Воспользуемся теперь условием отсутствия членов специального вида у
интеграла s. Если w = <ш"' - какой-нибудь член
sk, то 1"! - рх\ + \а2 - @2\ ^ 1,
dw dw . . dw dw . .
эД ¦ щ ^ - ("' " Mw' П1ЖГ2-^2 = ("2 " h)w-
Но тогда из (1.10) вытекает неравенство
к-i
1К11<^+3^1К11а4^. ^3- (i-п)
7-2
Докажем теперь справедливость оценки
||в(|| ^ (2F+3/x3y-2. (1.12)
Для этого воспользуемся индукцией по I. Очевидно, что при I = 2
неравенство (1.12) справедливо. Если оно доказано для значений I =
2,3,..., к - 1, то из (1.11) вытекает неравенство
||^<^+3?(273+3№Г2а4~7 ^ (fc^Vs)*"2 Е27~2< {2к°+3к)к~2-
7=2 7=2
Таким образом, (1.12) выполняется и при I = к.
Следовательно, ||s*|| < к^к, (In ||sfc||)/(fclnfc) < ц4.
Лемма 3 доказана полностью.
Пусть Spq < 1 - произвольные положительные числа, а иррациональное число
ш из (1.2) достаточно хорошо приближается рациональными числами, т. е.
неравенство
0 < \а - ооЪ\ < ?pq/bb2, р=(а, 0), q = (0,b), (1-13)
имеет бесконечно много решений в целых числах а,Ъ (Ь > 0). Из теории
диофантовых приближений известно, что мера множества таких чисел со равна
нулю, однако они всюду плотны в К (см., например, [70]).
Согласно лемме 1, при иррациональном со уравнения Гамильтона с
гамильтонианом (1.2) имеют формальный интеграл s(u, v) = = itiVi +
spiP240hu\'и^1 y4\ v4 не содержащий членов cue-
Pi +P2+9i +92^3
циального вида (для которых pi = qi ир2 = (r))'
Лемма 4. В еп-окрестности каждой функции (1.2) найдется такая точка Я ?
Н, что при целых a, Ъ из неравенства (1.13) коэффициенты saoob допускают
оценку
|*о00б| ^ Ьь2. (1.14)
315
Глава VI. Неинтегрируемость около положений равновесия
Следствие. Множество точек Н € Н, для которых преобразование Биркгофа
расходится, всюду плотно.
Доказательство леммы 4. Пусть s = щи, + si,
где si - однородный полином степени / ;> 3. Ряд s формально
