Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
системы всюду плотны в Н. В частности, всюду плотны гамильтоновы системы,
для которых расходится преобразование Биркгофа. Относительно расходимости
преобразования Биркгофа справедлива более сильная
Теорема 2 (К. Зигель [60]). Функции Гамильтона Н со сходящимся
преобразованием Биркгофа образуют в Н подмножество первой категории
Бэра*) в топологии Т.
Более точно, Зигель доказал существование бесконечного счетного множества
аналитически независимых степенных рядов Ф^Фг,... от бесконечного числа
переменных hka, абсолютно сходящихся при |Л*,| < е (для всех k, s) и
таких, что если точка Н € Н сходящимся преобразованием Биркгофа
приводится к нормальной форме, то в этой точке почти все Фг (кроме, может
быть, конечного числа) обращаются в нуль. Функции Фг аналитичны, поэтому
решения нигде не плотны в Н. Следовательно, множество точек из Н,
удовлетворяющих хотя бы одному уравнению Фг = 0, имеет первую категорию в
смысле Бэра. Если пытаться исследовать сходимость преобразования Биркгофа
в какой-либо конкретной гамильтоновой системе, придется проверить
выполнение бесконечного числа условий. Для этого не известно никакого
конечного метода, хотя все коэффициенты рядов Фг можно явно вычислить.
*) Напомним, что подмножество топологического пространства является
множеством первой категории Бэра, если оно представимо в виде конечной
или счетной суммы нигде не плотных множеств. В свою очередь, нигде не
плотное множество характеризуется тем свойством, что в каждой окрестности
любой точки топологического пространства найдется открытая непустая
область, не содержащая точек из этого множества.
310
§ 1. Метод Зигеля
В частности, все еще неизвестно, сходятся ли преобразования Биркгофа в
ограниченной задаче трех тел при фиксированном отношении масс в
окрестности лагранжевых равновесных решений. По поводу этой задачи К.
Зигель заметил, что она, "по-видимому, лежит вне возможностей известных
методов анализа" [60].
2. Согласно результатам § 11 гл. II, в некоторых канонических
координатах х, у гамильтониан Я приобретает вид
Я= ^ ^Несобственными числами являются ±iu>i,... ,±гшп. Выполним линейное
каноническое преобразование х,у -> u,v с комплексными коэффициентами: у =
(ги + v)/y/2, х = (и + iv)/y/2. В новых координатах Я - i'^TujjUjVj + ...
Мы докажем теорему 1 в наиболее простом случае двух степеней свободы.
Кроме того, пусть сох = 1, а ш2 = о; - иррациональное число.
Итак, рассмотрим канонические уравнения с функциями Гамильтона следующего
вида:
Я = i(uiVi + UU2V2) + ^2 Kmqiq2uP\u^vtv2 ¦ С1-2)
Pi+K+gi
Коэффициенты hpg могут быть комплексными числами.
Так как ш иррационально, то по теореме Биркгофа уравнения Гамильтона с
гамильтонианом (1.2) допускают два формальных интеграла Si = uivi + ...
(/ = 1,2). Квадратичные члены этих разложений не определяют однозначно
интегралы Si и S2. Причина неоднозначности - наличие слагаемых
специального вида
c(u1v1)ai(u2v2)a2, ai + a2=gZ 2. (1.3)
Число g будем называть степенью одночлена (1.3).
Лемма 1. Для гамильтоновых систем с гамильтонианом вида (1.2) существует
интеграл s = u\V\ +... без членов вида (1.3), причем каждый интеграл
такой системы есть ряд по Я и s.
Действительно, предположим, что интеграл 5/ содержит член специального
вида (1.3), и что степень g этого члена - наименьшая из возможных. Тогда
интеграл 5; - cSilS22 не будет содержать членов вида (1.3) степени ^ д.
Применяя последовательно эту операцию, не затрагивающую квадратичных
слагаемых, построим два формальных интеграла s\ = uivi + ... (/ = 1,2),
не содержащих ни одного слагаемого специального вида. Далее, любой
интеграл гамильтоновой системы с гамильтонианом (1.2) есть ряд по
степеням sj и s2 (см. § 11 гл. II). В частности, это относится к
интегралу Я. Ввиду (1.2), разложение Я по степеням s\,s2
311
Глава VI. Неинтегрируемость около положений равновесия
имеет вид Н = is j + гшб2 + •.. Следовательно, можно представить S2 в
виде ряда по степеням Н и s = S\. Лемма доказана.
Пусть F-ряд по степеням и, v, и пусть F; (/ = 0,1,...) - сумма его членов
порядка /. Через \\Fi\\ обозначим максимум абсолютных значений
коэффициентов однородного многочлена I]. Следующее утверждение носит
технический характер.
Лемма 2. Пусть ?, 77- комплексные числа, G-однородный полином степени г
по переменным щ, щ, v\, v2. Тогда
(1?1 + М) llGll С (2Г + 2) Шщьх + r)u2v2)G\\. (1.4)
Г
Доказательство. Имеем G = ]Г) Gi, где G; - однородная
1=0
часть G степени I относительно щ, щ. Так как ||G|| есть максимум значений
||G;|| (I = 0, ...,г) и ||(^ui^i + rju2v2 )G|| - максимум значений ||
+ то неравенство (1.4) выполнено, если оно
верно для G; вместо G при / = 0,..., г. Следовательно, можно по-/
ложить G = tpku\ul2k, где <рк-однородные полиномы от v\, v2 k=о
степени г - I. Если |?| > |т?|, то можно поменять местами ?, щ, v\ и ?7,
u2, v2] поэтому ограничимся случаем |?| ^ |?7|.
Полагая i = 0, 1 = 0,Ф* = Ы<Рк-\ + ЦЩУк {к = 0,... ,/ + 1),
получаем
