Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Ао = {0,. " , 0},
к-1
А\ = {l,2,...,iV- 1,01_^0},
s-2
А2 - {0^1,... ,N - 1,0^^0},
.ч-З
As_i = { 0^0,1,...,^-!}.
а-2
Таким образом, каждая последовательность {о;п} € Пя имеет вид
... 0, Лг_., 0, А1о, 0, ,0, ..., (8.3)
причем индексы гт могут принимать независимо любое значение из множества
{0,1,..., s - 1). Ясно, что находится во взаимно однозначном соответствии
с множеством Q " всех бесконечных последовательностей из s символов.
Преобразование Тк сдвигает (8.3) на к символов влево, что приводит к
появлению на месте блока Ai блока Ai ,. Но это в точности то же самое,
что и сдвиг Т на
*П *П+1 I
множестве П'\ Следовательно, гомеоморфизм Т : П* -> Qs сопряжен с
гомеоморфизмом Тк : Qs -> П.,, который, в свою очередь, сопряжен с
отображением Sk : А -> А (теорема 2). Итак, доказано
Следствие (Смейл [232]). Для любой окрестности U и любого натурального s
найдутся такие натуральное число к и подмножество А С U, что отображение
Sk : А -> Л топологически сопряжено с гомеоморфизмом сдвига в
пространстве последовательностей из s символов.
307
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
Этот гомеоморфизм сдвига также называется сдвигом Бернулли. Здесь мы
имеем более сложную вероятностную модель: независимые испытания с s
равновероятными исходами.
4. Теперь мы можем сформулировать теорему Деванея, упоминавшуюся в п. 1 §
7. Итак, пусть р - точка покоя гамильтоновой системы с двумя степенями
свободы, ±а ± го; - ее характеристические числа, 7 - трансверсальная
гомоклинная траектория для точки р.
Теорема 3 [191]. Если аш ф 0, то для любого локально трансверсального
сечения Е траектории -у и любого натурального s найдется компактное
инвариантное гиперболическое множество А С Е, на котором отображение
последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в
пространстве бесконечных последовательностей из s символов.
Таким образом, вблизи гомоклинной траектории к положении равновесия типа
седло - фокус гамильтонова система обладает квазислучайным поведением.
5. В. М. Алексеев применил метод символической динамики в задаче о
пылинке в поле двойной звезды (см. п. 3 § 5 гл. I). Оказывается, если
эксцентриситет орбит массивных тел отличен от нуля, то траектории пылинки
выглядят весьма запутанными. Это дает возможность доказать
неинтегрируемость уравнений движения [5]. Более точно, квазислучайность
траекторий пылинки удается установить при малых значениях эксцентриситета
е ф 0. Методом Пуанкаре (см. § 1 гл. IV) можно доказать отсутствие
интегралов и нетривиальных групп симметрий в виде формальных рядов по
степеням е. Либре и Симо [216] перенесли метод Алексеева на ограниченную
круговую задачу трех тел в предположении, что масса Юпитера много меньше
массы Солнца.
308
ГЛАВА VI
НЕИНТЕГРИРУЕМОСТЬ В ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
Еще один метод доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем
основан на оценках снизу коэффициентов степенных рядов для формальных
интегралов, существующих по теореме Биркгофа (см. § 11 гл. II). Причиной
расходимости здесь снова оказываются аномально малые знаменатели - почти
резонансные соотношения между частотами малых колебаний в окрестности
положений равновесия.
§ 1. Метод Зигеля
1. Рассмотрим каноническую систему дифференциальных уравнений
и предположим, что Н - аналитическая функция в окрестности точки х - у =
0, причем Н(0) = 0 и dH(0) = 0. Пусть Н = ^ На,
где Нв -однородный полином от ж и у степени s.
Пусть Aj,..., А2п - собственные значения линеаризованной канонической
системы с гамильтонианом Яг- Можно считать, что Ап+* = - А*. (1 ^ к ^ п).
Рассмотрим случай, когда числа Ai,..., А" чисто мнимы и независимы над
полем рациональных чисел, т. е. сумма miAi + ... + тпАп с целыми т,-
равна нулю только если все ш, - нули. При этом предположении Биркгоф
нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к
нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п
интегралов в виде формальных степенных рядов по ж, у, попарно находящихся
в инволюции (см. § 11 гл. II).
В этом параграфе мы исследуем полную интегрируемость уравнений (1.1) в
окрестности положения равновесия х = у = 0 и сходимость нормализующего
преобразования Биркгофа. Рассмотрим
309
Глава VI. Неинтегрируемость около положений равновесия
множество Н всех степенных рядов
Н = ^ д hkgX у', k = (A/'i,..., кп), 5 = (si,...,sn),
сходящихся в некоторой окрестности точки х = у - 0. Введем в Н следующую
топологию Т: окрестностью степенного ряда Н* с коэффициентами hkt назовем
множество рядов с коэффициентами удовлетворяющими неравенствам \hks -
h*ka\ < eks, где гкв - произвольная последовательность положительных
чисел.
Теорема 1 (К. Зигель [59]). В любой окрестности любой точки Н' ? Н
найдется такой гамильтониан Н, что соответствующая каноническая система
(1.1) не имеет независимого от Н интеграла, аналитического в окрестности
равновесия х = у = 0.
Это утверждение доказывается в п. 2. Таким образом, неинтег-рируемые
