Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
диаграмма
А А
4 I'
Т
П ---> Q
(т. е. Т о f = f о S).
Искомый гомеоморфизм ш -> (х,у) задается формулами (8.2). Доказательство
основано на простом сопоставлении (8.1) и (8.2).
302
§ 8. Символическая динамика
Итак, каждой траектории Sn(z), г ? В, n е Z, содержащейся в квадрате В
сопоставлена последовательность символов о; = {о/п}, причем действию
отображения S отвечает ее сдвиг на один элемент влево. Этот метод
кодировки траекторий восходит к работам Адамара, Биркгофа, Морса,
Хедлунда по исследованию геодезических на замкнутых поверхностях
отрицательной кривизны и составляет содержание "символической динамики".
Подробнее с этой теорией можно ознакомиться по книгам [4, 221].
Символическое описание траекторий позволяет доказать ряд важных свойств
преобразования S. Из леммы 1 и теоремы 1 выводится
Предложение 1. Отображение S : Л -> Л обладает следующими свойствами:
1) периодические точки плотны в Л;
2) любые две периодические точки можно соединить двоякоасимптотической
траекторией;
3) любая периодическая точка имеет гомоклинную траекторию;
4) существуют траектории, всюду плотно заполняющие Л.
Доказательство. Периодической траектории отображения S соответствует
точка (а) = (..., а, а, а,...) € П, где a - некоторый блок из нулей и
единиц. Любому элементу а; € П можно сопоставить последовательность
периодических траекторий = = (а"), где an - {а>_п,... ,а;п). Очевидно,
что -> ш при п-> -> оо; т. е. свойство 1) доказано. Далее, пусть точкам
(а), (Ь) € Q отвечают две периодические траектории; тогда
последовательности (..., а, а, Ь, Ь,...) отвечает искомая
двоякоасимптотическая траектория. Гомоклинные траектории соответствуют
последовательностям (..., а, а, с, а,а,...). Тем самым доказаны свойства
2) и 3). Рассмотрим, наконец, такую точку ш* € П, что в
последовательности {со*}, начиная с некоторого места, подряд записаны все
конечные блоки из нулей и единиц. Тогда замыкание орбиты U Тпш* (n € Z)
совпадает с П. Предложение доказано.
Обсудим теперь вопрос об интегрируемости дискретной динамической системы
(B,S). Эту систему естественно назвать интегрируемой, если найдется
локально непостоянная функция F ("интеграл"), инвариантная при
подстановке S : F(S(z)) = F(z) для всех г ? В.
Предложение 2. Отображение S : В -> В не имеет непостоянных аналитических
интегралов.
Доказательство (по В. М. Алексееву [2]). По предложению 1 (свойство 4)
интеграл F имеет одно и то же значение в точках множества Л С Д. Из
построения совершенного множества
303
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
Л вытекает, что для любой точки г ? Л всегда найдутся две
последовательности точек из Л, сходящиеся к г по двум независимым
направлениям (например, по горизонтали и вертикали). Поэтому производные
всех порядков по х, у в точке z равны нулю. Для завершения доказательства
воспользуемся аналитичностью F.
Из этого рассуждения нельзя вывести отсутствие гладких интегралов, ибо Л
нигде не плотно. Можно показать, что периодические точки в Л являются
гиперболическими и, следовательно, невырожденными. С другой стороны, они
плотны в Л, а множество Л - ключевое подмножество в В для класса
аналитических функций. Поэтому отсутствие аналитических интегралов можно
также установить с помощью результатов п. 1 § 8 гл. IV. Другой способ
доказательства неинтегрируемости основан на применении третьего свойства
из предложения 1. Легко видеть, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы
периодических точек не совпадают (и пересекаются); это позволяет
применить теорему 1 из § 2.
Динамические системы, у которых имеются траектории, всюду плотно
заполняющие фазовое пространство, называются транзитивными. Наша система
транзитивна на подмножестве Л С В, поэтому ее можно отнести к
"транзитивному типу" (термин Биркгофа). "Любая неинтегрируемая проблема
транзитивного типа может, однако, считаться "решенной", если для нее
можно указать специальный алгоритм, достаточно могущественный для
разрешения всех вопросов о типах и распределении движений".*) В нашем
случае этот алгоритм дает символическое представление траекторий в
квадрате В, описываемое теоремой 1.
2. Преобразование Т : Г2 -> Q, фигурирующее в теореме I, обычно
называют сдвигом Бернулли. Происхождение этого термина имеет прозрачную
вероятностную природу. Действительно, выберем "наугад" точку ш € Q и
рассмотрим итерации Тпш, п ? Z. "Компоненты" Тпш с нулевым номером
образуют последовательность из нулей и единиц: .. .о;_п,... ,uio, ...
cam, Переходы от
к сan+i можно трактовать как независимые испытания Бернулли с двумя
равновероятными исходами. В связи с этим динамическую систему (Л, S)
часто называют квазислучайной.
Рассмотрим положительную полутраекторию {Tnu;} (п > 0) точки ил
Последовательности u;o,o;i,... сопоставим точку х € [0,1] по правилу х =
о"о/2 + Ui/22 + ... Тогда сдвиг Бернулли можно представить как
отображение f:x -> 2х mod 1 единичного отрезка на себя. При этом
