Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 120

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 172 >> Следующая

При отсутствии резонансов (7.5) в гамильтоновой системе нет резонансов
(7.4) порядка 3 и 4 (когда |А:| = |/с,| = 3 или |fc| = 4).
Поэтому, согласно классическому результату Биркгофа, вблизи точки р
функция Гамильтона приводится к нормальной форме:
П П
Я = А,-<т,- + aijCJiVj + 0(|ж|5 + |р|5),
t = l !J=1
где х, у - аналитические канонические координаты в окрестности точки р, а
сг, = ж,у;. Назовем положение равновесия слабо нерезонансным, если среди
резонансов (7.4) нет комбинационных резонансов (7.5), а матрица А = Ца^Ц
удовлетворяет условию невырожденности
Ak^L 0, fc€Zn\{0}, (fc, А) = 0. (7.6)
Если равновесие нерезонансно или матрица А невырождена, то условие (7.6)
выполнено автоматически.
Пусть Л - одна из асимптотических к точке р поверхностей; она сплошь
заполнена траекториями гамильтоновой системы, приближающимися к точке р
при t -> +оо или t -> -оо. Ясно, что в окрестностях точки р на Л найдутся
локальные координаты xi,... ,хп, в которых гамильтонова система на Л
имеет вид
%к = AfcXjt + • • • ;
многоточие обозначает нелинейные слагаемые. Пусть 7-одна из
асимптотических траекторий к точке р. Траектория 7 называется главной,
если касается одной из плоскостей ха = 0 при t -> +00 (или t -> -00).
Теорема 2 [29]. Пусть р± - слабо нерезонансные положения равновесия с
вещественными характеристическими показателями. Если существует
трансверсальная двояко асимптотическая к р± траектория 7, не являющаяся
главной при t -* ±00, то
300
§ 8. Символическая динамика
аналитическая гамильтонова система не допускает аналитических интегралов
в окрестности множества 7 U р+ U р_, независимых от интеграла энергии.
Требование того, чтобы траектория 7 не являлась главной, существенно,
поскольку в типичном случае задача Неймана (см. п. 1) удовлетворяет
остальным условиям теоремы. Доказательство теоремы 2 напоминает
доказательство теоремы 3 из § 2. Было бы интересным выяснить, гарантируют
ли условия теоремы 2 отсутствие нетривиального аналитического поля
симметрий.
С. В. Болотин указал интересное применение теоремы 2 в динамике
твердого тела. Речь идет о возмущении приведенной задачи Лагранжа,
рассматривавшейся в п. 2. Если постоянная площадей равна нулю, то
характеристические числа неустойчивого равновесия оказываются
вещественными, и поэтому теорема Деванея неприменима. В [29] показано,
что если тензор инерции не шаровой, и центр масс тела несколько смещен
относительно оси динамической симметрии (при этом его z-координата
отлична от нуля), то возмущенная задача Лагранжа допускает не являющуюся
главной трансеерсальную гомоклинную траекторию к слабо нерезонансному
положению равновесия. Для построения нужной траектории используются идеи
теории возмущений (см. § 1). Эта задача обсуждается также в работе [51].
§ 8. Символическая динамика
1. Начнем с рассмотрения модельного примера. Пусть S - отображение
квадрата В = {{х,у) € R2 : 0 ^ х, у ^ 1} в себя, определенное формулами:
х -> Зх, у -> у/3, если 0 ^ х ^ 1/3,
х -> Зх - 2, у -¦ у/3 + 2/3, если 2/3 ^ х ^ 1, ((r)-1)
В полосе 1/3 < х < 2/3,
О ^ у ^ 1 отображе-
ние S не определено. Геометрический смысл преобразования S : В -> В ясен
из рис. 32. Его, можно трактовать как отображение Пуанкаре некоторой
динамической системы. Пас будут интересовать траектории, целиком Рис-
32
лежащие в квадрате В.
С этой целью выясним, как устроены множества Sn(B) С В при n > 1. Для
того, чтобы получить S(B), надо из квадрата В
301
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
выбросить горизонтальную полосу [0,1] х (1/3,2/3). Если из оставшихся
двух полос выбросить более узкие полосы [0,1] х (1/9,2/9) и [0,1] х
(7/9,8/9), то получится множество S2(B), и т. д. Продолжая этот процесс
неограниченно, придем к множеству [0,1] х К (где К - канторово множество
на отрезке [0,1]), на котором определены все отрицательные степени S.
Рассуждая точно так же, мы получим, что на множестве К х [0,1] определены
все положительные степени отображения S. Следовательно, все целые степени
S определены на "дырявом" множестве Л = К х К С В: траектория любой точки
z € Л (т. е. совокупность точек Sn(z), п € Z) целиком лежит в А С В.
Как же устроено отображение S : А -> Л ? Чтобы ответить на этот вопрос,
введем пространство Q последовательностей ш = {а;п} нулей и единиц, где п
пробегает все целые значения. Зададим в ?2 топологию Т, определив
следующим образом сходимость: последовательность tjjW сходится к ш € Q,
если при всех п
lim = и>п .
к-"оо
Лемма 1. Топологическое пространство (П,Т) гомео-морфно А.
Действительно, последовательности {о;п} можно постявить в соответствие
два числа:
(r) = 2]Tw,/3*+1, у = 2^w_,/3*, (8.2)
оо оо
которые принадлежат, очевидно, К С [0,1]. Легко сообразить, что это
соответствие - гомеоморфизм.
Пусть Т - отображение ?2 на себя, которое переводит ш = {ссп} вш'= К+i)
(сдвигая влево элементы на единицу).
Теорема 1. Существует такой гомеоморфизм / : Л -> Q, что коммутативна
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed