Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
А+(р) и А~(р);
(iv) система имеет п почти всюду независимых аналитических интегралов.
В этом примере все собственные значения в точке р вещественны (д = 0).
Теорема Деванея распространяется и на гетероклинные траектории. В таком
виде она имеет интересное приложение к небесной механике. Дело в том,
что, согласно гипотезе Стрёмгрена, ограниченная задача трех тел при
некоторых рациональных отношениях масс имеет несколько гетероклинных
орбит, соединяющих равновесные решения Лагранжа и Ь5. Если бы удалось
доказать их трансверсальность, то мы бы получили новое доказательство
неинтегрируемости задачи трех тел. Эта идея реализована Ж. Дэнби [190]
для так называемого копенгагенского варианта задачи трех тел (т. е. для
плоской круговой ограниченной задачи трех тел с равными массами).
Обнаружено очень большое число гомо- и гетероклинных орбит, являющихся
трансверсальными пересечениями асимптотических поверхностей.
2. С. А. Довбыш [51] применил теорему 1 к изучению возмущений
интегрируемой задачи Лагранжа из динамики твердого тела. Выбирая
подходящим образом единицы массы, длины и времени, можно считать, что
главные моменты инерции тела относительно точки закрепления равны Д = Д =
1, /3, координаты центра масс относительно осей инерции суть 0, 0, 1, а
вес тела равен единице. Пусть с - постоянная интеграла площадей.
Рассмотрим равномерное вращение
= а)2 = 0, <л3 = г0; 71=72 = 0, 73 = 1. (7.1)
Оно отвечает положению равновесия уравнений Эйлера - Пуассона. Равновесие
(7.1) будет неустойчивым, если выполнено известное условие Маиевского |с|
< 2. Уравнения в вариациях для
(7.1) имеют, очевидно, два нулевых характеристических показателя (ввиду
наличия интеграла плошадей и геометрического интеграла 72 = 1).
Выпишем формулы двоякоасимптотических решений для равномерного вращения
(7.1):
од = 2а ch^at) cos(J3t + s), од = 2a ch_1(at) sin(/3i -f s),
71 = ca ch-1(at) cos {dt -f s) + 2a2 ch_2(al) sh(at) si n(/3t + s),
72 = ca ch_1(ai) siii(/3i s) - 2a2 ch_2(at) sh(al) cos(/3t .s), ^ ^
73 = 1 - 2a2 ch~2(al); 013 = r0.
298
§ 7. Асимптотические поверхности
Здесь а2 = 4 - с2/2, /3 = (73 - 2)го/2, в - вещественный параметр,
нумерующий гомоклинные траектории.
Ненулевые характеристические показатели для (7.1) равны ±а ± ±г/3. Ввиду
неравенства треугольника для моментов инерции имеем /з < 2.
Следовательно, если г0 ^ 0 и выполнено условие Маиевс-кого, то а(3 ф 0. В
этом случае равновесие (7.1) для приведенной системы (на фиксированной
четырехмерной совместной поверхности уровня интегралов площадей и
геометрического интеграла) будет особой точкой типа седло - фокус.
В невозмущенной задаче асимптотические поверхности (7.2) сдвоены и все
гомоклинные траектории нетрансверсальны. Оказывается, при малых
возмущениях задачи Лагранжа равновесие (7.1) не исчезнет и снова будет
точкой типа седло - фокус, но появятся трансверсальные гомоклинные
траектории. Таким образом, к возмущенной задаче Лагранжа можно будет
применить теорему 1.
Для выяснения вопроса о расщеплении сдвоенных асимптотических
поверхностей (7.2) рассмотрим 27г-периодическую функцию от s:
Здесь F = /;;Щ5 - дополнительный интеграл в случае Лагранжа, Н\ -
возмущающая функция; скобка Пуассона вычисляется на го-моклинных
траекториях из семейства (7.2).
Общее возмущение волчка Лагранжа можно свести к возмущению тензора
инерции и сдвигу центра масс вдоль оси динамической симметрии. Второе
возмущение несущественно. Поэтому Н\ = = ?ijUiiVj/2, где г# -малые
величины. В силу свойств симметрии можно считать, что ?12 = ?22 = 0. В
качестве малого параметра удобно принять ? = (е?! + ?^з + ?2з)1/2.
Интеграл (7.3) вычисляется с помощью вычетов:
где А = а/(3. Эта 27Г-периодическая функция от s всегда имеет простые
нули (если, конечно, с ф 0). Следовательно, согласно теореме 1 из § 1,
при малых ненулевых значениях е возмущенная приведенная задача Лагранжа
будет иметь трансверсальную го-моклинную траекторию. По теореме 1
возмущенные уравнения не допускают нетривиальных аналитических полей
симметрий (и тем более новых аналитических интегралов).
3. С. В. Болотин [29] получил достаточные условия неинтегрируемости
гамильтоновых систем в случае вещественности характеристических
показателей, которые формулируются в терминах нормальной формы Биркгофа.
(7.3)
2тгг0 sh 1 ^-(2 -/3)sin2s + ch 1
?13 . cos s sin s
299
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
Пусть р--положение равновесия аналитической гамильтоновой системы с
вещественными различными характеристическими числами Ai > О, ...,А" > О,
-Аь ...,-А". Между числами Ai,...,An возможны резонансные соотношения
(Аг, А) = 0, fc6Zn\{0}- (7.4)
Предположим, что среди (7.4) нет комбинационных резонансов:
А, = (/, А) или А,- + Xj = (I, А), (7.5)
где I = {1и /"), lk ^ 0, |/| = ? k > 1.
Отметим, что множество векторов ! ? R", удовлетворяющих
(7.4), всюду плотно в Е", а множество векторов, удовлетворяющих
резонансным соотношениям вида (7.5), дискретно.
