Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
где zn(-) есть 27т-периодическое решение невозмущенной задачи. Если zn(0)
-> za(0) при п -> оо, то равномерно по Л последовательность f'n(А)
сходится к /(А). Используя очевидную формулу
заключаем, что /" -> V равномерно по А. Поскольку согласно предположению
теоремы функция I имеет простой нуль, то при достаточно большом п функции
/п будут обладать свойством б). Одновременно мы показали, что
последовательность точек zn(Ап) сходится к za(Ao), где А0 - простой нуль
функции I. Теорема доказана.
Отметим, что возмущенная система может не иметь невырожденных
долгопериодических решений периода 2ir/u> = 2nn/m при m ф 1. Точнее,
существование таких решений не вытекает, вообще говоря, из рассмотрения
возмущения первого порядка по г. Примером может служить известная задача
о плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите (см. § 4 гл. I).
Трансверсальность пересечения сепаратрис в этой задаче при малых
ненулевых значениях эксцентриситета орбиты установлена в работе [36].
С помощью теоремы 1 можно установить наличие семейств невырожденных
долгопериодических решений в гамильтоновых системах, неинтегрируемость
которых установлена методом расщепления сепаратрис. Ряд примеров таких
систем указан в §§ 3, 4.
2. Если е и Г(А0) имеют разные знаки, то точки (п(е), о которых идет
речь в теореме 1, при малых значениях е ф 0 отвечают периодическим
решениям эллиптического типа. Следовательно, они устойчивы в линейном
приближении. С помощью результатов работы [123] С. А. Довбыш показал, что
при выполнении дополнительного условия [5(/")2 - 3/'////](Ао) Ф 0 эти
эллиптические периодические решения устойчивы для малых е [50].
Периодические решения Пуанкаре из теоремы 1 зависят от двух параметров:
непрерывного е и дискретного п. В предположениях теоремы 1 возмущенная
система имеет 27г?г-периодическое решение при фиксированном п и малом г.
В зависимости от знака произведения еГ(Ао) это решение может быть
эллиптическим или гиперболическим. Возникает естественный вопрос о
поведении возникающих невырожденных периодических решений при увеличении
|е|. Эта задача рассмотрена в работе [50]. Оказывается, найдется такая
положительная постоянная с, что с возрастанием |е| < с/п мультипликаторы
А, А-1 периодического решения Пуанкаре, появляясь из точки А = А-1 = 1
при г = 0, либо монотонно движутся в противоположных направлениях
положительной вещественной по-
§ 7. Асимптотические поверхности
луоси (когда е/'(Ао) > 0), либо обегают единичную окружность на
комплексной плоскости, встречаются в точке А = А-1 = - 1 и затем
расходятся в противоположных направлениях отрицательной вещественной
полуоси (когда е/'(Ао) < 0). При |г| ^ с/п монотонный характер движения
мультипликаторов мож,ет нарушиться.
§ 7. Асимптотические поверхности неустойчивых положений равновесия
1. Следуя Р. Деванею [191], рассмотрим автономную аналитическую
гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Пусть р - критическая
точка гамильтониана Я с собственными значениями ±(а ± г(3) (а,(3 G R).
Если а ф 0, то р - гиперболическое
положение равновесия, обладающее устойчивой асимптотической поверхностью
Л+ и неустойчивой Л-. Пусть 7 - гомоклйнная траектория; она стремится к
точке р при t -> ±оо. Ясно, что 7 С (Л+ П П Л-). Предположим, что во всех
точках траектории 7 двумерные поверхности Л+ и Л- пересекаются
трансверсально.
Теорема 1. Пусть а/З ф 0. Тогда в любой окрестности 7 гамильтонова
система не имеет нетривиальных аналитических полей симметрий.
Следствие. В предположениях теоремы 1 гамильтонова система не допускает
аналитического интеграла, независимого от функции Н.
Формально теорема 1 не содержится в [191]. Однако из теоремы Деванея
[191] (ее точная формулировка будет дана в § 8) вытекает существование в
малой окрестности 7 бес конечного числа долгопериодических
гиперболических траекторий, объединение которых составляет ключевое
множество для класса аналитических функций. После этого заключение
теоремы 1 просто выводится из результатов § 8 гл. IV.
Условие af3 ф 0 снять нельзя. Это показывает контрпример, указанный Р.
Деванеем [192]. Рассмотрим задачу Неймана о движении точки по n-мерной
евклидовой сфере Sn = {ж 6 Rn+1 : |ж| = = 1} в силовом поле с
квадратичным потенциалом V = (Ах,х)/2. Для того чтобы получить равновесия
с гомоклинными траекториями, следует отождествить противоположные точки
сферы Sn. Собственные значения оператора А будем считать различными. В
качестве точки р возьмем неустойчивое равновесие, отвечающее максимуму
потенциала V на Sn. Тогда:
(i) равновесие р является гиперболическим;
(ii) оно имеет 2п различных трансверсальных гомоклинных траекторий (на
энергетической поверхности, содержащей точку р)\
297
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
(iii) пересечение Л+(р)ПЛ~(р) устойчивого и неустойчивого многообразий
содержит открытую окрестность каждой из этих гомок-линных траекторий в
