Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
решений, отвечающих сепаратрисам Гг, Гг и Гз, являются непостоянными
тригонометрическими многочленами. Следовательно, применимо условие 3)
теоремы 1.
Теорема 2 [49]. Существуют такие области Si, 5г и S3 в пространстве
параметров (к которым нужно добавить постоянные интегралов энергии и
момент а), что:
1) для значений параметров из области S1 U U 5'г U 5'з возмущенные
сепаратрисы Г( и Г" расщепляются, не пересекаются и расположены так,
Рис. 31 как показано на рис. 31;
2) для параметров из области S\ при всех малых е > 0 возмущенные
сепартрисы Г'х и Г3 не пересекаются вблизи невозмущенных сепаратрис Г1;
Гг и Г:!;
3) для параметров из области 5г при всех малых е > 0 сепаратрисы Г] и Г3
пересекаются вблизи кривых Гi, Гг и Г3;
4) для параметров из области 5г существуют такие последовательности
положительных чисел г* -> 0 и sn -> 0 (п -> оо), что при е = е +
сепаратрисы Г] и Г3 пересекаются вблизи кривых Гi, Г2, Г3, а при е = е~
не пересекаются.
Таким образом, для точек из области S3 наблюдается нетривиальный эффект:
при стремлении положительного параметра ? к нулю происходит бесконечное
число бифуркаций рождения и ис-
ку
291
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
чезнования гетероклинных решений, проходящих вблизи невозмущенных
сепаратрис Гi, Г2 и Г3.
Второе утверждение теоремы 2 допускает интересное уточнение,
принадлежащее снова С. А. Довбышу.
Предложение 2. Существует такая область S0 С S\ в пространстве параметров
задачи, что при малых г > 0 имеется замкнутая аналитическая инвариантная
кривая, расположенная вблизи невозмущенных сепаратрис и разделяющая
возмущенные неподвижные точки zi(e) и гг(е).
В частности, в этих случаях не существует гетероклинных движений:
сепаратрисы гиперболических точек z\ (е) и не пере-
секаются, оставаясь расположенными по разные стороны от замкнутой
инвариантной кривой. Доказательство предложения 2 основывается на теореме
Мозера об инвариантных кривых с использованием техники, развитой при
доказательстве теоремы 2.
3. Когда гамильтонова система зависит от параметра, то в типичной
ситуации интегрируемым случаям отвечают исключительные изолированные
значения параметра. Доказательство изолированности интегрируемых случаев
в конкретных задачах может оказаться весьма трудным делом. Следуя [88],
мы изучим этот вопрос для гамильтонова уравнения
х + w2[l + е/(?)] sinx = 0 ; ш,е = const, (5-2)
которое описывает колебания математического маятника. Аналитическая
функция f(t) считается непостоянной и 27г-периодичес-кой по t. При е = 0
уравнение (5.2) интегрируемо, а при малых ? Ф 0 оно не имеет интеграла,
однозначного и аналитического в расширенном фазовом пространстве R х Т2 =
{х; х, t mod 2k} (см. п. 1 § 3). Ниже будет показано, что это уравнение
может быть интегрируемым лишь при конечном множестве значений параметра е
из интервала [-а, о], где а-1 '= max |/(i)|.
R
При всех значениях е 6 [-о, а] периодическое решение x(t) = ж (или, что
то же самое, x(t) = -ж) - вертикальные колебания перевернутого маятника -
является гиперболическим. Для доказательства положим х = к + ?. Тогда
уравнением в вариация^ периодического решения x{t) = ж будет уравнение
?-р(0? = Р = ^2(1 + е/)-
Поскольку p(t) J 0 и p(t) ф. 0, то мультипликаторы этого решения
положительны, один из них больше единицы, а другой меньше единицы (А. М.
Ляпунов [120]). Таким образом, решение x(t) = к действительно
гиперболическое. Оно имеет две двумерные асимптотические поверхности А+ и
А-, сплошь заполненные траекто-
292
§ 6. Расщепление сепаратрис и рождение решений
риями, неограниченно приближающимися к точке х = ±7г при t -> ±00.
Поскольку гамильтониан Н аналитичен, то Л)", А~ - регулярные
аналитические поверхности в Е х Т2, аналитически зависящие от е.
Оказывается, поверхности Л+ и Л.; пересекаются при всех е 6 € (-а, а).
Это утверждение, очевидно, эквивалентно существованию гомоклинного
решения x(t) (x(t) -> ±7г при t -+ ±00). Доказательство можно извлечь,
например, из следующего общего утверждения.
Теорема 3 [24]. Пусть (M,T,V) -обратимая механическая система, М
компактно, метрика Т не зависит от времени, а потенциальная энергия V : М
х -> R периодична по t. Если V{x,t) < V(x0,t) для всех х ф х0 и t 6 R, то
существует такое двоякоасимптотическое (гомоклинное) решение х(-),
4rox(t) -> хи при t -* ±00.
В нашем случае М = Т1, Т = х2/2, V = - ш2{\ -f е/)( 1 + cost). Если -о <
е < а, то V(x,t) < V(n,t) для всех-a; G [0,27т] \ {7г} и всех t.
Так как поверхности Л~ и Л" не совпадают при малых ? ф О, то те значения
е, |е| ^ а + 6 (6 > 0), при которых Л+ = А~, изолированы. Поскольку при
|е| ^ а поверхности Л+ и Л~ пересекаются, то уравнение (5.2) интегрируемо
лишь при изолированных значениях ?.
Следует подчеркнуть, что интегрируемые случаи изолированы не всегда.
Действительно, в § 1 гл. II приведен пример аналитической гамильтоновой
системы, аналитически зависящей от параметра е, которая на всюду плотном
