Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
виде
2 • ec\\/h + ае2 . ф + Ле sin = т, sin
\jh + ae2(t - t0) +o(e). (4.10)
С помощью методов § 1 нетрудно установить наличие трансвер-сального
пересечения сепаратрис для уравнения (4.10) при малых значениях е ф 0
(см. также [132]). Отсюда вытекает, в частности, неинтегрируемость
уравнения (4.10). Поскольку свойство расщепления сепаратрис устойчиво по
отношению к малым возмущениям, то исходные уравнения (4.8) также
неинтегрируемы при малых значениях р > 0.
6. Еще один способ обнаружения гомоклинной структуры предложен в [87].
Пусть oj = а2 ф 03, В = 0, С = diag(cj,c2,C3) и С1 = с2 + ?. При .е = 0
имеем интегрируемый случай Кирхгофа. В этой невозмущенной задаче имеются
неустойчивые периодические траектории и гомоклинные решения. С помощью
результатов § 1 можно установить расщепление сепаратрис при малых
ненулевых значениях е. В [150] рассмотрена более общая задача, в которой
матрица С имеет недиагональные элементы порядка е.
7. С помощью результатов п. 1 можно указать условия интегрируемости ряда
задач из динамики твердого тела. Рассмотрим
286
§ 5. Бифуркации сепаратрис
вращение ферромагнетика в магнитном поле (см. п. 8 § 3 гл. I). Оно
описывается уравнениями (3.18) гл. I:
1ш - Iuj х а; + e(u/>? 7), 7 = 7 х е - const ^ 0. (4.11)
Теорема 4 [91]. Уравнения (4.11) имеют дополнительный аналитический
интеграл в том и только том случае, когда твердое тело динамически
симметрично.
Для доказательства заметим (см. § 3 гл. I), что уравнения (4.11) можно
представить в виде уравнений Кирхгофа (4.1), где надо положить
А = Iх, В - -el-1, С = ?2Г1. (4.12)
Пусть I = diag(/l51%, 13). При Б = Б имеем интегрируемый случай Кирхгофа
(новым интегралом будет I3to3 -f ?73); он отмечен и исследован в [151].
Рассмотрим теперь общий случай, когда все главные моменты инерции Б
различны. Пользуясь теоремой 1, запишем (4.2) в предположении (4.12):
ehI2I3(I^ - I2')(I[X - i3x){i[x - /2') - о.
Для несимметричного тела это соотношение никогда не выполнено, что и
требовалось доказать.
В работе [38] исследована интегрируемость уравнений более общей задачи о
вращении ферромагнетика с нешаровым тензором намагничивания (при учете
гиромагнитных эффектов).
А. А. Буров и А. В. Карапетян [37] применили теорему 1 и результаты п. 3
§ 3 к задаче о полной интегрируемости уравнений скольжения тяжелого
эллипсоида по горизонтальной плоскости. Предполагалось, что эллипсоид
близок к шару, и его моменты инерции различны. Рассматриваемая система
имеет пять степеней свободы и четыре интеграла: сохраняются полная
энергия, импульсы тела в горизонтальных направлениях и кинетический
момент относительно вертикали. Следовательно, для полной интегрируемости
недостает всего одного интеграла. В [37] получены необходимые условия
интегрируемости:
1) центр масс совпадает с геометрическим центром эллипсоида;
2) главные оси эллипсоида инерции и эллипсоида поверхности совпадают;
3) моменты инерции Б эллипсоида и полуоси а* его поверхности связаны
соотношением Б{аг - а3) + hi*1 з - °i) + Б(*Ч - °2) - 0.
§ 5. Бифуркации сепаратрис
1. Пусть (х,у) = z - декартовы координаты в плоскости R2. Снабдим ее
стандартной симплектической структурой П = dxAdy.
287
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
Пусть Я = Ho(z) -f sHi(z,t) + о(е) - функция Гамильтона, 27г-пе-
риодическая по t и аналитическая на множестве D х Tj х (-?и, ?0), где D -
область в R2, е0 > 0.
При ? = 0 имеем интегрируемую гамильтонову систему с одной степенью
свободы. Предположим, что невозмущенная система имеет в области D три
неустойчивых невырожденных положения равновесия zi, Z2 и z3, соединенных
двоякоасимптотическими траекториями Гх и Гг, как показано на рис. 27.
Точки z\ и г;! могут совпадать, однако мы требуем, чтобы zi ф z2. Точки
z\, z2 и z3 - неподвижные точки отображения до за период t - 2ж
невозмущенной системы, а Гх и Гг - инвариантные кривые этого отображения,
заполненные точками, которые при положительных (отрицательных) итерациях
отображения до стремятся к точке z2 (~i) для кривой Гх и к точке z3 (z2)
для кривой Гг- При малых значениях
параметра ? ф 0 точки zi, z2 и z3 не исчезнут, а перейдут в неподвижные
точки ^(г), г2(г) и z3(e) возмущенного отображения за период дЕ. В общем
случае неустойчивая сепаратриса П точки Z\ (с) и устойчивая сепаратриса
Г'/ точки z2(e) уже не будут совпадать при г ф 0. Аналогичная ситуация
возникает для сепаратрис Г2 и Г2 точек г2(е) и гфе) (рис. 28). Условия
несовпадения сепаратрис Г' и Г" обсуждались в § 1. В случае несовпадения
сепаратрисы могут пересекаться или не пересекаться как множества точек в
R2. Если, например, сепаратрисы Г'х и Г" пересекаются, то через точки
пересечения проходят траектории гетероклинных асимптотических решений,
"связывающих" между собой точки ^х(е) и z2(e). Достаточные условия
пересечения и непересечения сепаратрис при малых ? ф 0 в областях R2, не
содержащих точек zi, z2 и z3, указаны в § 1. При этом оставался открытым
