Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
0,1, Ь2 = Ьз = 0; щ = 3, сг = 8, сз = 1. Ясно видно, что гетероклинная
сеть пересекающихся сепаратрис повторяется с периодом 7г. Это - следствие
инвариантности задачи при подстановке т -> -т, р -> -р (ср. с п. 1).
Результаты расчетов показывают, в частности, что условие (4.2) не
является достаточным для интегрируемости уравнений Кирхгофа.
3. В работе [15] получены некоторые дальнейшие результаты в задаче о
наличии дополнительного интеграла уравнений (4.1) в предположении, что
всЬ собственные значения матрицы А различны. Как в п. 1, авторы работы
[15] вводят малый параметр е, заменяя р на ер, и ставят задачу о наличии
дополнительного интеграла в виде степенного ряда
$0 (т,р) + s$i(m,p) + е2Ф2(т,р) + ..., (4.7)
коэффициенты которого продолжаются до однозначных голоморфных функций в
комплексифицированном фазовом пространстве С6 = {т,р}. Применяя метод
работы [79] (см. § 1 гл. VII), они получили, что "однозначный" интеграл
вида (4.7) существует лишь в известных интегрируемых случаях Клебша и
Стеклова. Поскольку речь идет об интегралах в комплексном пространстве,
то авторы работы [15] отмечают, что полученный результат имеет лишь
формальное отношение к реальной динамике. Это не совсем так. Дело в том,
что уравнения (4.1) имеют однородные правые части. Поэтому каждая
однородная форма вещественно-аналитического интеграла сама является
интегралом уравнений (4.1). Подстановка р -> ер переводит каждую такую
форму в многочлен по е, ко-
283
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
§ 4- Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа
эффициенты которого - однозначные голоморфные функции от т, р, поскольку
они - полиномы от т и р.
Это рассуждение, конечно, не проясняет особенности поведения вещественных
траекторий задачи Кирхгофа. Однако оно позволяет полностью решить задачу
об аналитических интегралах уравнений Кирхгофа в несимметричном случае.
4. Задача об интегрируемости уравнений (4.1) при ау = а2 существенно
сложнее. Выше уже отмечалось, что из наличия аналитического интеграла
уравнений (4.1) вытекает наличие интеграла в виде однородного многочлена
по переменным т, р. Это простое наблюдение позволяет применить к
рассматриваемой задаче метод Гюссона, с помощью которого была решена
задача о дополнительном алгебраическом интеграле уравнений вращения
тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (историю вопроса и изложение
метода Гюссона можно найти в [113]; см. также [14]). Такая задача
рассмотрена С. Т. Садэтовым [148] в предположении о диагональности матриц
А, В и С.
Теорема 2. При а у = "2 ф а3 дополнительный аналитический интеграл
уравнений (4.1) существует лишь в случае Кирхгофа (Ьу = Ъ2, С! = с2).
Отметим, что при ay = a2 Ф °з известные интегрируемые задачи переходят в
случай Кирхгофа (см. п. 3 § 5 гл. И).
В [148] рассмотрена также более сложная задача о дополнительных частных
интегралах. По определению, функция F - частный интеграл, если F = 0 на
поверхности П2 = 0, и если на этой поверхности функции Fy, F3 и F почти
всюду независимы.
Теорема 3. Пусть В = 0. Тогда аналитический частный интеграл уравнений
(4.1) существует лишь в случаях Кирхгофа и Чаплыгина (последний случай
интегрируемости - частный, см. п. 3 § 5 гл. II).
В [148] получены некоторые необходимые условия интегрируемости в
предположении ay = a2 = аз. Но они, по-видимому, не являются
достаточными.
5. Метод Гюссона не дает содержательной информации о поведении
вещественных фазовых траекторий. В ряде случаев при ay = а2 можно указать
гомоклинные структуры, проясняющие механизм неинтегрируемости уравнений
Кирхгофа.
Пусть В = 0. Тогда уравнения (4.1) можно представить в виде уравнений
Эйлера - Пуассона:
Ко - lw х ш + е х Je, с - с х w. (4-8)
Здесь I - матрица, обратная к A, J = С, ш = Ат, е = р. Мы предполагаем,
что ay = а2; следовательно, 1у = /2.
285
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
В уравнениях (4.8) можно перейти к "ограниченной" задаче, заменив /3, J\
и J2 соответственно на р1з, pJ\ и pJ2, где 0 < р ^ 1. Оказывается, что в
случае .Д ф J2 при малых значениях р > О уравнения (4.8) не имеют
нетривиального поля симметрий с аналитическими компонентами [92].
Доказательство проводится методом п. 4 § 3.
В уравнениях (4.8) положим р = 0, разделив предварительно на р обе части
уравнения для изменения ссз- В результате получим ограниченную задачу о
движении твердого тела в жидкости (см. п. 6 § 4 гл. I). Сначала установим
ее неинтегрируемость. Интегралы уравнений (4.8) перейдут при р = 0 в
интегралы ограниченной задачи:
2
и>\ + ш\ + ае\ = h, + ш2е2 - с, е2 + е\ + е2 - е'
Здесь а = J3//i; h,c, е = const. С помощью уравнений движения нетрудно
установить уравнение для изменения удвоенного угла "собственного
вращения" <р = 2 arctg(ei/e2):
ф + Л(е2 - и2)sin = (си/(е2 - и2)) ,
Л = (J\ - J2) / 1'Ач й2 = (h - аи2)(е2 - и2) - с2.
Положим he2 = с2 + г2. Тогда u(t) = ещ(Ь) + о(е), щ = = -Acos[\//i + ае2
(t - to)]; A,to = const. При малых е уравнение (4.9) можно представить в
