Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
случае, когда В = diag (fci, 62,6з) - Так как
{F0, Hi} = (b3 - Ь2)(тхт2р3 + тхт3р2) +
+ (Ьх - Ь-з)(т2т.3рх + тхт2р3) +
+ (62 - bi)(mim3p2 + m2m3pi),
ТО
J = (Ьз - b2)(JX23 + J132) + (bi - b3)(J23i + J123) + (b2 - bx)(Jx32 +
J231),
где Jijk = / miTrijPk dt. Интегралы ./,д. удовлетворяют линейным
уравнениям
03^132 ~ a2JX23 + (аз ~ ai)J23\ = О,
a\J\22 - а3^231 + (°1 _ Оз)^132 = 0, (4.6).
02J23I - OiJi32 + (02 - Oi)J213 = 0.
Получим, например, первое соотношение. Из уравнений Кирх-
гофа при ? = 0 следует, что (mxpi)' = а3тхт3р2 - а2тхт2р3 + + (а3 -
а2)т2т3рх. Так как тх -> 0 при t -> ±00, то
/(X)
(mxpi)
-'X)
dt = 0.
Если а2а3 - аха2 - аха3 ф 0, то из уравнений (4.6) получим aia3 - аха2 -
а2а3 _ аха2 - аха3 - а2а3
0132 - ---------------------э231, J Х23 - Э231.
а2а3 - аха2 - аха3 а2а3 - аха2 - аха3
Интеграл J23i можно вычислить с помощью вычетов и убедиться в том, что он
отличен от нуля. Если не выполнено условие (4.2), то в силу очевидного
равенства
J(axa2 + аха3 - а2а3) _х _х. . _х. .
------------;--------= ах (Ьз - Ь2) + а2 (Ьх - Ь3) + о3 (Ь2 - Ьх)
Zaxa2 аз J 231
имеем J Ф 0; следовательно, возмущенные сепаратрисы расщепляются. В
случае а2а3 - аха2 - аха3 = 0 интеграл J пропорционален интегралу Ji23
или Jx32. Из соображений симметрии и сохранения на М2з меры, порожденной
стандартной мерой в R6, следует пересечение возмущенных сепаратрис.
Поэтому уравнения Кирхгофа неинтегрируемы на инвариантных многообразиях
М23 и, в частности, во всем фазовом пространстве К6.
281
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
Пусть теперь В - 0, а матрица С диагональна. Получим условие Клебша
(4.3). Полагая 2Fo = (то, т) - аУ(Ат, то), вычислим скобку Пуассона:
{F0,Я2} = т1р2р3{с3 - с2)(1 - ai/о2) + т3р1р2(с2 - ci)(l - а3/а2).
Следовательно,
/IX)
{F0,F2}cft = Ji(c3 -c2)(af1 - aj J) + J3(c2 - Ci)(aJ:1 - a^1),
•(X)
где Jx = oi JZ тгр2р3 dt, J3 = a3 то3р^ dt. Докажем, что Ji =
= J3. Для этого умножим уравнение Кирхгофа р2 = а\т\р-3 -
- а3т-3р\ на р2 и проинтегрируем вдоль прямой R = {?}. Тогда
•Л - -h = J'Z, ГгР2 dt. = {Ру2)|i" = 0.
Вычислив интеграл J2(J3) с помощью вычетов, можно убедиться, что он
отличен от нуля. Если не выполнено условие (4.3), то в силу очевидного
равенства J/J\ = (с3 - c2)aj"1 + (с\ - с3)а21 + (с2 -
- сДоз1 имеем ./ ф 0, и, следовательно, возмущенные асимптотические
поверхности расщепляются. Эти поверхности всегда пересекаются.
Действительно, гамильтонова система инвариантна при подстановке р -> -р.
Отождествляя антиподальные точки на сфере р2 - /3 > 0, приходим к
совпадению неустойчивых периодических траекторий (4.4). С другой стороны,
как установил Пуанкаре, в гомоклинном случае всегда имеется
двоякоасимптотическое решение. Для завершения доказательства отсутствия
дополнительного аналитического интеграла остается воспользоваться
результатами § 2.
Если не выполнено условие (4.2) (или (4.3), если В = 0), то одна из пар
сепаратрис задачи Эйлера обязательно расщепляется при добавлении
возмущения. Интересно отметить, что при подходящем выборе матриц В и С
одна пара сепаратрис остается сдвоенной, а другая - расщепляется. Пусть,
например, В = 0, а элементы с у симметричной матрицы С удовлетворяют
условиям
\/а2 - aici3 ± У а3 - а2(с22 - сц) = О,
Уа2 - а\(с33 - с22) ^ Уа3 - а2с\2 = 0.
Тогда при всех значениях ? уравнения Кирхгофа имеют "частный интеграл
Гесса - Аппельрота" F = mlv/a2 - щ ± т3уа-3 - а2. При малых значениях
параметра е сепаратрисы задачи Эйлера {Fc = = fk (k = 1,2,3), F = 0}
останутся сепаратрисами возмущенных периодических решений (4.4).
2. Ю. В. Баркин и А. В. Борисов провели численный анализ задачи
Кирхгофа в случае диагональных матриц А, В и С. Урав-
282
§ 4¦ Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа
нения (4.1) были представлены в специальных канонических переменных L, G,
Н, I, д, h. Координата Я отвечает интегралу Яг- Его постоянная принята
равной нулю. Как и в работе [196], была зафиксирована трехмерная
поверхность уровня интеграла энергии приведенной системы Fi = 50, а
секущая плоскость задана в виде д - 7г/2. За координаты на секущей
плоскости приняты переменные L/G, I mod 27г. Поскольку \L\ ^ G, то \L/G\
^ 1.
Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 26. Здесь приняты
следующие значения для диагональных элементов матриц А и В: а\ = 1/3, аг
= 1/2, аз = 1; bi = 3, Ьг = 2, Ьз = 1. Видно, что условие (4.2) заведомо
выполнено. На рис. 26, а изображены траектории в интегрируемом случае
Стеклова, когда ci = 3, с2 = = 8, сз = 1. Затем параметр с\ начинает
увеличиваться. Рис. 26, б отвечает значению ci = 5, а рис. 25 в -
значению с\ = 10. Хорошо видно, что картина интегрируемого поведения
фазовых траекторий начинает разрушаться как раз вблизи сепаратрис. По
мере удаления от интегрируемой задачи "стохастический" слой около
расщепленных сепаратрис начинает "расплываться". На рис. 26, г изображена
картина пересечения сепаратрис при следующих значениях параметров: Ьг -
