Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
являющиеся экстремалями функционала действия ff* L(q(t), q(t)) dt, где
q(t) - касательный вектор kJVb точке q(t), L = Т - V - функция Лагранжа.
Изменение со временем локальных координат q на N описывается уравнением
ГГ ddL dL
Эйлера - Лагранжа - - = --.
dt oq oq
Рассмотрим естественное отображение TN -> T*N, порожденное римановой
метрикой: (q,q) -> (q, р), где р - dT/dq. Очевидно,
что р - линейная форма на TqN. Квадратичная форма Т поло-
жительно определена, поэтому линейное отображение q -> р - изоморфизм
линейных пространств TqN и Т* N.
Рассмотрим полную энергию системы Н : T*N -> К, опреде-
/ дТ
ленную формулой H(p,q) = {pq - L)\.^р = I - q -T + V = (T+V) |
Q-^p
'p,g
Теорема (Пуассон - Гамильтон). Функции q(t), p(t) удовлетворяют
каноническим уравнениям р - -dH/dq, q - dH/dp.
Аналогичная конструкция справедлива и для лагранжианов более общего вида.
Предположим, что L как функция от скоростей q выпукла (квадратичная форма
(Т^?,?) положительно определена) и растет на бесконечности быстрее
линейной функции (L/\q\ -> оо при |4| -> со). Тогда преобразование
Лежандра
д L
(9,9)-" (9.Р), Т-^Я; Н = (pq - L)| ,_р ,
определено в целом, причем гамильтониан Н также является выпуклым по
импульсам р и растет на бесконечности быстрее линейной функции.
Не следует думать, что уравнения Гамильтона встречаются в механике только
как эквивалентная запись уравнений Лагранжа.
23
Глава I. Гамильтонова механика
Это не так, и вот простой пример. Рассмотрим плоское течение несжимаемой
жидкости. Пусть а, Ь - компоненты поля скоростей v ее частиц в декартовых
координатах х, у. Из условия несжимаемости divv = 0 следует, что 1-форма
ady - bdx при всех значениях ? является дифференциалом некоторой функции
Ф(ж, у, t). Уравнения движения частиц жидкости можно представить в виде
уравнений Гамильтона х - Ф[, , у = -'Ф^ с гамильтонианом Ф. В
гидродинамике функция Ф называется функцией тока: если течение
стационарно, то частицы движутся по кривым Ф=сопз1;.
8. Натуральные системы "обратимы": их лагранжианы инвариантны при
подстановке t -> -t, так что наряду с движением q(t) всегда имеется
движение q(-t).
Непосредственным обобщением обратимых механических систем являются
системы с гироскопическими силами. Их природа может быть самой различной.
Гироскопические силы появляются при переходе во вращающуюся систему
отсчета, при понижении числа степеней свободы систем с симметриями (см.у
например, [12, гл. III], при описании движения заряженных частиц в
магнитном поле. Дадим формальное определение.
Пусть N - пространство положений натуральной системы, xi,... ,хп -
локальные координаты на Лг, а 2/1, • • • ,Уп - импульсы. Координаты х,у
являются каноническими на T*N, и в этих переменных симплектическая
структура П имеет стандартный вид И = Л dxi. Рассмотрим дополнительно
некоторую замкну-
тую 2-форму на N: Г = Y Г2у [х) dxi A dx3 (dr = 0); эта форма называется
в механике формой гироскопических сил. Сумма двух форм ?1+Г определяет
новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения
многообразия N. Если Н - некоторая функция на T*N, то пара (Q + Г, Н)
задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Н\ эту систему
назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие
гироскопических сил не изменяет полной энергии Н. К форме Q + Г можно
применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого,
пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально: Г = dF, F = Y Fk(x)dxk.
Тогда в переменных х,у имеем Q + Г = Y. dyi A dxi + Y dFi A dxi = Y + F)
A dx{. Следовательно, переменные x\y', определяемые равенствами х'к = ац,
у'к = ук + Fk{xj,..., хп) (1 ^ к ^ п) будут каноническими координатами
для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения
Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Н(х\ у' - F) =
Н(х, у).
Рассмотрим случай, когда замкнутая форма гироскопических сил точна: Г =
</Ф, где Ф - некоторая 1-форма на N. В этом случае уравнения движения
можно представить в виде уравнений Лагранжа с глобально определенным
лагранжианом L = (х,х)/2 +
24
§ 1. Уравнения Гамильтона
+ (v(x),x) - V(x). Здесь метрика ( , ) задает кинетическую энергию
системы, 1-форма (v,x) совпадает с формой Ф, v - некоторое векторное поле
на N. Функция Гамильтона имеет вид Н = Hi + + Hi + Но, где Нв -
однородная форма по импульсам степени s, причем Но = {v, v)/2 + V.
9. Рассмотрим восходящее к Лагранжу обобщение вариационной задачи из
п. 7. Пусть q : [*i, ?2] -> N - экстремаль функционала действия f** Ldt,
L = Т - V, в классе кривых с закрепленными концами, удовлетворяющих
системе уравнений
Здесь аг,... ,ат - гладкие ковекторные поля на N, линейно независимые в
каждой точке, и т < dim N. Следуя методу множителей Лагранжа, введем
дополнительные координаты Ai,...,Am и лагранжиан С - L - Xi(ai ¦ q).
Можно показать (см., например, [19]), что экстремали рассматриваемой
вариационной задачи находятся из следующей системы дифференциальных
