Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коренев Г.В. -> "Тензорное исчисление" -> 31

Тензорное исчисление - Коренев Г.В.

Коренев Г.В. Тензорное исчисление — МФТИ, 1990. — 136 c.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка): tenzornoeischeslenie1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 .. 33 >> Следующая

падает с ; то вместо (-к) мы можем написать
¦^f = Ar. (**)
По это равенство, как тензорное, справедливо ь любой системе координат; „поэтому CL с/с и мох по заменить на.
(Xе и вс или на <Z>с- и ^c' . Поэтому из/**) мы получим сразу Q?? - ?L>
подобным же образом, если в декс^товкх координатах установлено, что частная производная некоторого вектора по координатам равна тензору второго порядка, например, ' @ a. Cx ^ Р.*
то путем аналогичных рассуждений мы придем к выводу, что в любоіз системе координат верны равенства
Ото позволяет нам сформулировать следующие два правила:
1. Если в декартовых координатах получено некоторое тензорное равенство, не содержащее производных, то из него сразу получается инвариантное равенство, если элементы тензоров в декартовых координатах заменить юс ковариантными и контравариантными элементами.
2. Если в декартовых координатах получено некооюрое тензорное равенство, содержащее частные производные'по координатам или производные по парамс.ру, то из него сразу получается инвариантное равенство, если частные производные заменить ковариантными производными, а производные по параметру - абсолютні' - производными.
nepecTsiypgQqpQQTb гсфзриантяого дш№ерг;. .лшвдрия. Так как ковариантное дифференцирование - тензорная огзрация, то в результате ковориантного дифференцирования получаются новые тензоры, от которых можно брать повторные ковэриантнн'» производные. Возникает
- 123
вопрос, перестановочно ли ковариантное дифференцирование.
Воспользуемся только что сформулированннгли правилами получения инвариантных равенств. Пусть в декартовой системе координаа задан некоторый вектор - '
Его частная производная по координатам есть тензор второго порядк а повторная частная производная - тензор третьего порядка. Но час ное дифференцирование перестановочно, поэтому в декартовых коордм натах имеет место тензорное равенство:
Ъэсс Эх.* ~ 'Эх* Ojcc ' Чтобы получить инвариантное равенство, нужно частные производные заменить ковариантнггли, поэтому мы имеем
Cl v Z/t ^ &- V *l: >
и ковариантное дифференцирование перестановочно в любой системе координат.
В следующем параграфе будет дан другой вывод этого предложения, независимый от приведенных правил.
Необходимо отметить, что приведенные выше соображения опираются на существование в нашем пространстве декартовой системы координат; это следует считать экспериментальным фактором. В Ри-манозой геометрии постулируется существование пространств, в которых нельзя построить декартову систему координат. В таких прост ранствах ковариантное дифференцирование не. перестановочно.
§ 12. Тензор Римана-Кьисто<М)еля. Тождества'Ляме Перестановочность ковариантного диМ)ЄРенііирования. Так как ковариантные производные сами по себе являются тензорами, то от них можно снова брать ковариантные производные. Известно,что обыь новенное дафференцирование перестановочно относительно порядка дифференцирования; возникает вопрос, перестановочно ли ковариантное дифференцирование.
Для первой ковариантной производной мы имели формулу
Пусть CU" есть рроизвольный контраварианткші лектор. Образуем его первые ковариантные производные по <^с и ^ * а затем найдем вторые ковариантные производные.
- 124 -
е
Тогда получаем
Чтобы на^ти вторые ковариантные производные, вспомним, что первая ковариантная производная есть смешанный тензор .второго порядка; для его ковариантной производной мы имели формулу
Нам нужно найти 0^с^ и CL^ кі \ поэтому необходимо сделать две замены индексов4:
\ к ? р \ \ f ^ к р ?
У ( т с < SJ ' */ { т /с с
Индекс р заменчем на * потому что P уже встре-
чается в первых производных. Следовательно, вторые ковариантные
производные будут
/*7
Напомним, что / к с ~ ' г*. , т.е. символы Кристоц$еля симметричны по нижним индексам. Действительно, по определению
откуда в^силу симметрии ^U: следует симметрия /^f . Поэтому разность вторых ковариантных производных будет
Найдем сначала U*-;l и Cc^k0 » а затем CL^ ^ и ?Су х?1 Для этого нам йууло сначала сделать в (*) две следующие постановки индексов:
- 125 -
ончатбльно г
ИЛИ OK
Г ґ (І2Д)
Если коварнанткое дифференцирование перестановочно, то эта разность должна тоздесівенно равняться нулю.
Тон?ор Рк^ана-КоисуоМюл'г. Лрпдадиіл равенству (12.1) более удобный вид.
Введем обозначение
вследствие чего равенство(і2.ї) прилег вид
- CL* кі. = Я аЛ .(i:, j)
Удесь слева сюит тензор третього поротна; в правой части есть произвольней вектор. Поэтому, согласно обратному тензору признаку, объект (Ij .2) есііЬ тензор четвертого лої'-дла. Он называется '101130001.1
rC",ro~!v'r С'^чоп^чг;оотт' ко^Т)наН'т,,,^т,о ^гй~Гєу)є?щтгпоч'"!нття.
—т -її і г- ¦i in її і ішіими^'ц- in щи r-^ !¦¦nir ці і 114" и—ii^ir ¦. і її nirti і u niiutii! імтя it>i 1 iu її - * їм ції Xі . - і iri n ¦i. jj-t''' iji і ftimi її - и— ~i m»j 'i.i>it»> й—і шішІтвлтл****
Ховариан.інос л:\ 'ереіглнрованно перестановочно, если левая часть в (12.1) тслдс-сівенпо ^авна нулю. Ьсслользовавлпсь (12.3),получаем
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed