Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коренев Г.В. -> "Тензорное исчисление" -> 30

Тензорное исчисление - Коренев Г.В.

Коренев Г.В. Тензорное исчисление — МФТИ, 1990. — 136 c.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка): tenzornoeischeslenie1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 .. 33 >> Следующая

=???-^^- СИ. 12)
Упражнение. Доказать, что если Cbс< - антисимметричный тензор, то объект ^ _
есть также тензор. Тензор ССс/с? иногда называют ішклом ... тензора (Хек
Решение. Возьмем ковариантную производную от тензора Oi.^^ и Сделаем ь ней две циклических перестановки индексов:
6 к е
е •
е і с /С
В результате получим р р
Cl^c ^ Щ^-Г^Оре-^et^,
Сложив эти равенства и воспользовавшись антисимметрией тензора CLc /с , получим
Но слева в этом равенстве стоит тензор; следовательно,и справа тоже тенеор, что и требовалось доказать.
Некоторые рвоиства поварнантяой производной* Как видно из определения, ковариантное дифференцирование есть йнцелчдд операция, как и обычное дифференцирование. Поэтому очевидно, что ковариантное дифференцирование обладает следуюидои двумя*свойствами:
1. Ковариантная производная произведения тензора на постоянное равна произведению постоянного на ковариантную производную тензора, например, <•
2. Ковариантная производная суммы двух тензоров равна сумме ковариантякх производных обоих тензоров, например,
UJ Ъ<?е (И.15)
Покажем на примере, что ковариантная производная обобщенного произведения двух тензоров может быть взята по правилам обычного дифференцирования.
- 118 -
*
Пусть , например, CC1^ ~ CL^ 6*,
и, следовательно,
/?? & +ЛгШ4 * ^ 4 ? Лп л6)
Точно тазе же на примере покажем, что имеет место следующее важное свойство: операция свертки го ^.'ьгчте^ну и операция ковари-знтного ди У ерентаровачич перестановок:.
Пусть, например, имеем тензор а-^.*, к его
свертку S~ •
Тогда ,с одной стороны ,имеем
С другой стороны, . ' .
Г
Свортьшая, имеем
откуда и следует наше утверждение.
Легша Риччи и следствия из нее. Леммой Рит:чи называют следующее утверждение: абсолютная и ковариантная производная метрического тензора тождественно рав?^ нулю. Покажем это. ;,1ы имеем
- IIS -
Следовательно
Тек как ковариантная производная равна нулю тождественно, то,очевидно, и абсолютная производная также равна /улю тождественно.
Отсюда вытекает, что при абсолютном и ковариантном дифференцировании метрический тензору можцо рассматривать как постоянноь Из этого сразу видно, что производите ассоциированных тензоров сами являются ассоциированными тензорами. В самом деле, например,
откуда и следует на&е утверждение. Упражнение> Показать, что
^<~>. (П.И)
Решение. Так как &ыс? есть псевдотензор веса то по формуле (II.II) имеем
а так как , то
?^к?,л> ~ /р?~ґг<г> ?/><e—/Z/>> ?tf>e-*fesr> ?vy>. Вычислим элемент ? газ, ™ • Мы имеем
Теперь вычислим элемент' ? а/з, лі . Получим
=? ^?ГЗ ( f/*sn "** //v*»J S О .
Подобным же образом получим, что и ,.все остальные элементы ковариантной производной равны нулю.
Докажем, что абсолютная и ковариантная производная детерминанта ^ метрического тензора равна тождественно нулю.
- 120 -
Мы имеем по определению детерминанта
Ковариантные производные псевдотензоров ^/з^г, и равны тождественно нулю. Поэтому мы можем написать
Но в правой части мы имеем сумму трех детерминантов, у каждого из которых, по лемме Риччи, имеется один нулевой столбец. Следовательно, будет
Умножив это на &fif" и сократив на 6, получим, что
?>т *г О. (II.19)
Упражнение. Показать, что
?* О. (п.20)
Решение. ік? есть истинный тензор, поэтому пользуемся
формулой (НЛО). Мы имеем
Г
= ff виг,
Но
поэтому _
^т эр
Детерминант ^ есть псевдотензор веса +2. По доказанному, его ковариантная производная тождественно равна нулю, воспользовавшись (II.11), мы имеем
откуда р
Є Г Г р ' V ' (II. 21)
Поэтому мы можем написать
Ейс$т * ГР"ЄїкЄ ~ ^Г^> ЄГ*Є * ^ ^уоД
Придавая индексам с , , <f частные значения,
как в предыдущем упражнении, покажем, \ , э
- Тензорі, ю то гне 'три "согарнантно: д.иГу;еоептт:.рован'дт мо";но считать пос"Огтнг.:н. /і?±л удобства запоминая вчпишем тензор", которые игл ковоопалїпо"/. дифференцировании мо.лНО считать и :гоянными:
Ci1QCO^ получения ^ваг::ан°^о: то1 знств. Часто бгзает удобно втгвєстл какое-їіПбудь тензорное равенство з декартовых координатах, так как в криволиней л:ос координатах этот в.лвод получается сложнее. Если тем не г^нее необходимо иметь это равенство в криволинейных координатах, то можно пользоваться следующим приемом.
Пусть в декартовых координатах- получено равенство двух векторов CL-Lx l &х :
Так как ото равенство"- векторное, то оно должно быть справедливо и в любой системе координат: но в произвольной криволинейной системе координат вектор CL с к переходит в ?L-C или
CLi , а вектор SIx - в ?с или &с .Поэтов :лы сразу получаем-рав'зпстза
а/ - • а~с - ?о •
Теперь допусти і, что в декартовых координатах производная не-, которого вектора по параметру раїна другому вектору:
с/т.
—. 122 -
Гак как в декартовых координатах дифференцирование, по- параметру - векторная операция, то приведенное только что равенство векторное, справедливо в любой системе координат. Но операция не тензорная;- тензорной операцией является • Так как в декартовых координатах тензорная ^операция сов-
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed