Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
с элементами трехзначкового спглвола Кристоффеля в качестве ког>|>~ фіщиентов. Поэтому для вычисления /7Cf достаточно вычис-
лить c&f^ ^ и найти входящие в него три квадратичные формы.
4 Упражнение. Вычислить символы Кристоффеля в цилиндрических координатах. Решение.
Определение цилиндрических координат г? ? Элсгентн длины: , % , /ъ) / /* ,t,\fe)
Мы имеем
- 109 -
Поэтому, отбрасывая для простоты скобки у показателей степени:
Г- ? (і* + ?* * г*'&*)9
откуда имеем
2* = о
1Г7
Вектор определяется следующим образом :
Поэтому будет
Па, зз ~ V /4 2 ,
Остальные символы хСристоффеля равны нулю. Развернутую запись :S представим в виде , Го о о\
представим в виде „ о о *
о OO О OO
о оо о оо
3 8?«-*
/3 = О o t
Обратил внимание, что ввиду особой роли индекса с в символе Кристоффсля развернутая запись построена несколько ш. чем было принято во втором параграфе.
Упражнение. Вычислить символы Кристоффеля в сферических ко динатах.
Решение.^
Определение сферических координат ^ ^
4I
¦JC3A1 tf<Ji Pfui
* 9-.
- но -
Элементы длины:
иы длины; , . , и і
Поэтому, отбрасывая для простоты скобки у показателей степени:
откуда имеем
Вектор j определяется следующим образом:
У,* I -г.У*-г.Л/»
Поэтому будет
Остальные символы Кристоффеля равны нулю. Развернутая запись, сделанная в том же порядке, как в предыдущем примере, будет
п.
Г*,к?
/S1Kt
О
О
О
О t,
О
О О
О -2. О
Z
о о
о
о
о о
о
о
t*SU7 Г COS 9"
- in -
§ II. Хор'?р7а"тноо л:?'' 'Спокілгопсі?:;е _
ІІиф иероіннроргл:і!е скаляра. Обыкновенное дифференцирование -истинного скаляра но скалярному аргументуй^ зт новый скаляр и поэтому является тензорной'операцией. Ди^рференцироЕание скаляра по координатам ^^ приводит к ковариантному вектору, т.е. также является тензорной операцией. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, введем для производных скаляра *° новые обозначения
ct-6~c/4 ' &у? ъу* (II.I)
и назовем объект J^r абсолютной производной с^алягщ. а объект ґ&&? rjni ? ~ коварланткой производной
скаляра. Твким образом, длят истинного скаляра понятия абсолютной и обычной производной, а таї-же коваріантний и частной - совпадают.
Для векторов и тензопов дифференциальные операции, приводящие к новым тензорам, сложнее. у
Абдолютная ко варна чти.0 я~ дрог сгонная вектора. Пусть <z с и etc. - векторы, 'заданные ъ каждой точке пространства. Введем обозначение с-
Ъ?- Г$&~ o.e. Є ' (П-2)
и назовем объекты и 'иди CcS., Є и CC с, ?
коварлантннмн пеопзво.тлу:^ век'токов ' CL .
подобным же образом введем обозначение
' „ г с/6 . (п.з)
и назовем объекты и с?%г абсолюткыми производнкми
векторов, CtZ и CLі по параметру
I1SK как ' . _ • А і . л
і.. - Г'е сьг Іе- (Щ-<*¦/¦)р?
то можно написать '. '
DcJ- - б/
9
~ ^fe Г ' (П.4)
P CLt _ JDQ-L А е ct-6 " VjJ Г ¦
- 112 -
Покажем, что абсолютная и ковариантная производная вектора
шляются тензорами.
Пусть - произвольный параллельно переносимый вектор,
(роизвол этого вектора состоит в том, что все &ус - произвольные числа, мы всегда можем выбрать их так, чтобы контра-вариантные координаты этого вектора в данной,' точке принимали заранее заданные значения, например,сначала (1,0,0), затем (0,1,0) и,наконец, (0,0,1) •
Пусть (Zc - вектор,, от которого мы берем абсолютную -производную. Свертка P- ?ссЫ есть скаляр, а его обыкновен-j ия производная по параметру тб - тоже скаляр.
M Имеем А Ос* Jjo r*0r<?.'? ~ Аг г** S
Отсюда
P - / ? - Пе ёфа, -fa - rZa+ff) Ґ.
По ' - произвольные; вектор в данноJ точке, поэте.іу. согласно
обратному тензорному признаку абсолютная производная ec?L
в это4, точке ковариантный тензор первого порядка. Но так как со -верленно такое же рассуждение мы можем провести для любой точки кривой переноса, а сама кривая перен^а может быть выбрана север -шен;ю произвольно, то абсолютная производная является тензором в любой точке.
Делее, по определению ковариантнол производной мы можем написать, что рси„ &<Zc ' „ . рА?
Так как перенос вектора происходит по совершенно произвольной кривой, то Cj^ - есть произвольный контравариантный вектор.' Но тог^да по обратному тензорному признаку ковариантная производная Ш11 OLc.ytf есть двавды ковариантный тензор.
?Итак, абсолютная и ковариантная производная ковариантного вектора являются тензорами, и мы имеем теперь способ, дающий возможность из заданных тензоров получать нозые тензоры при помощи дифференциальных операций. 4 '
Упражнение. Найти закон преобразования трехзначковых символов Кристоффеля,
Решение. Возьмем какой угодно скаляр , тогда
есть ковариантный вектор, ковариантная производная которого, как уже доказано, есть ковариантный тензор второго порядка.
- из -
Следовательно, закон преобразования этого тонзора
есть
г-
гу
Возьмем в качестве скаляра какую-нибудь одну координату
