Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коренев Г.В. -> "Тензорное исчисление" -> 27

Тензорное исчисление - Коренев Г.В.

Коренев Г.В. Тензорное исчисление — МФТИ, 1990. — 136 c.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка): tenzornoeischeslenie1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 .. 33 >> Следующая

Тогда его составляющие вдоль осей Озсс остаются все время постоянные, обозначил их через . Для дифферен-
циалов координат мы имеем закон преобразования
• - 102 -
Так как CL^ * Соп$? 9 то CLj? т О , и, диф-
ференцируя (10.2) по времени, мы. получим
?i d K*?i <ЬК*0. (Ю.З)
Если Л удовлетворяет этог^у условию, то происходит параллельный перенос вектора. Поэтойу оно называется условием параллельного переноса. ].1ы видим, что оно дает возможность установить факт параллельного переноса, не- зная составляющих вектора по осям декартовой системы координат.
Представим условие параллельного переноса в несколько другом виде. Из (ЮЛ) следует, что
?i •* . (10.4)
Поэтому
. «А? * ъ^эо* fr '
и условие параллельного переноса принимает вид
V . (10'5)
Напомким, что метрический тензор определяется следующим образом:
причем предполагается суммирование по верхнему немому индексу
S-
Выполним преобразование, которое имеет целью исключить из условия параллельного переноса декартовы координаты JL L т Тогда наблкщатель, находящийся в локальном трехграннике некоторой криволинейной системы координат, перемещающийся вместе с ним и не имеющий возможности измерить • > имел бы средство установить» что некоторый вектор CLK -перекосится параллельно, сохраняя при этом постоянную длину.
f
- 103 -
Умножим равенство (10.5) на g 00 сверткой по ворхнецу
индексу с . Мы получим
Преобразуем коэффициент при <fc . Для этого продифферен-
цируем по криволинейным координатам а раяенслбо
------к^---------
после чего произведем две круговые подстановки индексов:
л:
Г)
Є т \ Л *
л?
В результате получим три равенства:
Теперь сложим первое и іретье равенства, а затем вычтем из результата второе. Получим
причем во втором члене .,и воспользовались тем, что метрический тензор симметричен ^ л
Этот объект называется трехзначном символом Крисі ofolejifl; первого рода: в нашей литературе его принято обозначать через
/с Є • Итак ,
- 104 -
r ^ д Jg /?/^ ^?»*7 - яь'У<зсс-
г\У^ t^j^jt
Трехзначковый символ Кркстоффеля не.является тензором, поэтому часто, особенно в английской литературе, его обозначают через
І Є <, J $ подчеркивая этим отсутствие у символа тен-
зорных свойств.
Для удобства запоіллнащія упорядочим индексы путем подстановки:
/п к ?
1кб
Тогда мы получим
Следует отметить, что символы Крлст'йеля полиостью определяются метрическим тензором; декартовы координаты из них иск-
лючены.
Символы Кристоффеля первого ряд.., очевидно, сіьллетрпчкц по двум последним индексам
Гі/ *Є * ?ъ . (10,7)
Вернемся к (10.6). Мы имеем
Поэтому условие параллельного переноса принимает вид
" aS+? рп,Гт/ к? а*кр.*- о.
ОбыЧНО ВВОДЯТ ТреХЗНа4KOBbL. СИМВОЛ КрИСТОффеЛЯ ВТОРОГО PO Ш
при помощи равенства
105
которым устанавливается правило перемещения индексов у символов йристоффеля. Тогда получаем условие параллельного переноса в око* дательной форме
CtS * ґ~*еСЬО,Є= О. (10.9)
Хак как
IqS 6 е
то условие параллельного переноса можно также записать в следующее виде:
(Ще+Г***-*) 9-Є~°- шло)
I Найдем условие параллельного переноса для вектора, заданного |В ковариантном представлении.
ГЛы имеем в обычных обозначениях
откуда, так как CLj0, e О , получаем
Hb
л L x-s • л L • AcS _ * с <г5
О
Поэтому условие параллельного переноса примет вид
Умножая это на Z^>* 00 оверткой по верхним индексам, получим
- 106 -
Ho *
2K--^ /ZfS*^ґЧ$е"ь+ 1?^-?^)
[Гоэтому будет
Но из тождества
путем дифференцирования получаем
Подставляя это в условие параллельного переноса, получим
?авляя это в условие параллельного переноса, получим
После упорядочения индексов окончательно получим-
CL 1 - Г?Є ?? - О (10.11)
или
СЩІ - Г* **) fr'Л ° • CI0.I2)
- 107 -
Для удобства запоминания рекомендуется записать вместе условия параллельного переноса для контравариаытного в коаариантного представления вектора:
&кАе =о, do.із)
dc - ГіЄ CLs fe -=
или
Так как кривая, по которой происходит переноа^зоктора cl с или CZl » совершенно произвольна', то * - произ-
вольны!; вектор, отсюда следует, что условия параллельного переноса могут быть записаны в следующей форме:
, . (Ю.І5)
- ЛІ Ar - о.
Вичисленеє трехзначковкх риболов Кристо'Тх-юля Вычисление символов ІСрист^еля непосредственно по формуле (10.7), служащей их определением, практически неудобно. Самый просаой способ состоит в применеіши алгоритма, при помощи которого образуется левая часть уравнений Дагранжа 2-го рода.
Напишем основную метрическую формулу в виде:
Так как ~7тг' естъ скорость, то,обозначив ее через
, можем написать
Введем в PaCCMOTPeHHe1 скаляр
> ~2 'S ?>
и образуем ковариантный лектор
- 108 -
скула * ^ *
а не j:?tK.J? t как могло показаться с'; первого взгляда.
Поэтому г _ ^ ^ , . ^
Сделаем в третьем члене подставку «немых индексов Тогда будет Следовательно -
В выражение для входит квадратичная форма скоростей
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed