Всего лишь кинематика - Копылов Г.И.
Скачать (прямая ссылка):
обеих форм информации мы обязаны возможностью усовершенствовать прибор,
не прикасаясь к нему. И таких примеров трогательного единения двух форм
информации - теоретической и экспериментальной - можно было бы привести
десятки.
1"0
Глава 16
К СОЖАЛЕНИЮ, ПОСЛЕДНЯЯ
Первая наша попытка (в гл, 13) овладеть кинематикой распада на три
частицы не удалась. Мы попытались представить его как два распада на две
частицы, но из этого проистекло немногое. Поэтому в гл. 14
мы, не мудрствуя лукаво, обратились к задаче, не тре-
бующей знания энергий и импульсов частиц. Но все равно нам не миновать
честного и полного анализа системы тред частиц, анализа системы равенств
?i+?*+?s=m; (1)
PrfcPrfP.^O; {2)
Е\-.р\ = т\- E%~P\ = m|. (3)
По-прежнему предпочитая геометрический язык попробуем наглядно изобразить
условия (1) - (3).
Новая геометрия треугольника
Нарисуем равносторонний треугольник ABC с высотой т (рис. 57), возьмем
внутри него произвольную точку О и соединим ее с вершинами А, В, С.
Расстояния точки О от сторон треугольника обозначим Еи ВI, В г- Площадь
треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ОАВ, ОВС и ОСА:
±m-AC=*±EvBC + ^Ew-CA + ±Et-AB.
Сократив одинаковые множители, получим
?,+?,+?* =т, (4)
известную многим теорему о том, что в равностороннем треугольнике сумма
расстояний любой точки внутри треугольника от его сторон есть величина
постоянная. Перед нами готовый закон сохранения энергии. Это значит, что,
какой бы случай распада мы ни заметили, внутри треугольника ABC всегда
найдется точка, расстояния которой от сторон дадут энергии частиц в
замеченном нами распаде. Множество распадов - множество точек. Все эти
точки заполнят собой какую-то область внутри треугольника, и тогда,
наоборот, внутри этой области любая точка ивобразит мыслимый, допустимый
случай распада.
361
Давайте научимся чертить границу этой области,
(Нельзя ожидать, что область захватит собою весь тре-
угольник, ведь мы не учли ограничения, даваемые равенством (2).) Это
хорошая задача на преобразования Лоренца.
Что значит нарисовать границу? Каким свойством обладают точки на границе?
Пусть граница имеет, скажем, такую форму, как на рис. 58. Проведем не-
скол ько отрезков, па-раллельных стороне ВС треугольн и ка. Воз ьмем
какой-нибудь один из них, скажем MN (Л1 и .V - точки
его пересечения с границей), У точек вдоль отрезка
а
Рис. 57. Закон сохранения энергии.
будет меняться расстояние от стороны АС, а расстояние от ВС будет
оставаться неизменным. Эти точки бу-
163
дут отвечать распадам с одной н то# же эвертней части-цы I, но с разяым"
энергиями частицы 2. В течке М энергия частииы 2 будет наименьшей на
возможных, а
Лерйый зала 23
1
Итщльс -Pf Р}
Энергия т -Ef ?t
Масса YfiP-eaEf+af' щ
Второй этап
1
Рг+Рз--Р( t Ei+Ej^m-Ef
Рис. 59. Распад на частицы 1, 2, 3 в системе покоя частицы О.
точке N наибольшей. Если бы знать положение этих точек (расстояния от АС)
на всех отрезках MN\\BC, то мы бы очертили всю границу области. Значит,
задача сводится к тому, чтобы узнать наибольшее и наименьшее возможные
значения Ег при фиксированном ?,.
Но если энергия частицы 1 равна ?ь а ее импульс Рг, то фиктивной частице
23 достанется энергия т - Ех н импульс -Pj (рис. 59). Инвариантная масса
этой частицы окажется равной
(пока это та же формула (6) из гл. 13).
Пусть частица 23 распалась на частицы 2 и 3. Энергия частицы 2 в системе
покоя частицы 3
(помните, это формула (9) из гл. 9), а ее импульс PJ тем самым тоже
определится. Нам сейчас важно, что
ш
mlg = (т-?,)а - Р* = т- - 2тЕх + т\
'I
(5)
(6)
и El и Р\ определяются энергией Еi вполне однозначно: в формулу (6)
входит Еу через формулу (5).
А теперь вернемся в систему покоя частицы О. Энергия частицы 2
Это преобразование Лоренца. В формулу входят: релятивистский фактор у -
отношение энергии частицы 23 к ее массе:
и уу - отношение величины импульса частицы 23 к ее массе:
Кроме того, в формулу входит величина Р*ц - проекция импульса Р\ частицы
2 (в системе покоя частицы 23) на направление движения частицы 23. Сам по
себе импульс Р\ фиксирован, но его проекция может быть любой. В
зависимости от того, куда двигалась частица 2 в системе покоя частицы 23,
импульс р'л становится то больше, то меньше. А вместе с Рщ изменяется Е3
в формуле (7). Наибольшее Ег получится, когда частица 2 движется туда же,
куда показывает и импульс - Р| частицы 23; наименьшее - когда частица 2
движется в обратную сторону (рис. 60).
В обоих случаях проекция импульса совпадает по длине с самим импульсом
Р\, Итак,
Вот мы и знаем, как чертить границы государства распадов на три частицы.
Заодно мы узнали, что в пограничных распадах (тех, которые попадают на
самую границу) все три частицы летят по одной линии: частица 2 летит либо
в направлении частицы 1, либо прочь от нее (рис, 61). Частице 3 тогда
тоже нет возможности свернуть в сторону. Те треугольники, которые всегда
можно составить из импульсов Pj, Р*, Рв, на границах превращаются в
