Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Эти вклады порождаются локальным множителем П /г-5/2 (х), участ-
X
вующим в мере. При линеаризации (23.28) имеем
П d^v= f[ du"v.
(23.38)
Этот множитель следует учитывать при построении теории возмущений.
Формально его роль сводится к появлению добавки к действию вида
AS = (5/2)i6<4> (0) J In h (x)dlx, (23.39)
которая порождает вершины, пропорциональные б(4) (0). Появление таких
перенормировочных членов отмечалось во многих работах, посвященных
нелинейным теориям (см. [31, 32]). Заметим, что эти члены отсутствуют в
экспоненциальной параметризации (23.30). В ней мера (23.13) с точностью
до постоянного множителя имеет простой вид:
пп йФ^ (23.40)
X Jil<v
без всяких локальных добавок.
Таким образом, получена диаграммная теория возмущений в формализме
континуального интеграла по полям gw (или h^v). В ряде случаев, в
частности при переходе к гамильтоновой формулировке, более удобен
формализм первого порядка. О формализме первого порядка говорят, если
переменные g^v и r?v считаются независимыми. Мера в этом случае (с
точностью до степеней объема) имеет вид
?16/2 Y\ dgw П dTPv =й5/2 Udh^U <*rpv. (23.41)
H<v i-i <v n<;v n<v
P P
Степень определителя g в мере такая, что после взятия гауссова интеграла по
переменным Г мера совпадает с (23.13).
Опишем возникающую в формализме первого порядка диаграммную
технику. Элементы диаграмм, связанные с фиктивными {векторными
частицами, не изменяются. Помимо тензорного пропагатора (ииУ(23.33) в
схему'теории возмущений входят пропагаторы (и, у) и <уу).
Трем'разным'пропагаторам соответствуют линии
<ии> =
<и]> =
<//> =
(23.42)
8 Зак. 1322
209
В импульсном представлении они имеют вид
G^-P (k) = (i/2) (Tiffcc 6g kx +г)та ka-г)ааг1тр kP) Gpv-"P (k) =
Единственная гравитонная вершина порождается трехлинейной формой
Перенормировочные элементы, пропорциональные 6<4) (0), порождаются
локальным множителем П h5/2 (х) в мере (23.41), вклад
которого можно интерпретировать как добавку к действию вида
Мы подробно рассмотрели случай гравитационного поля в пустоте.
Введение взаимодействия с другими полями не изменит существенно схемы
построения теории возмущений. Для полей материи с невырожденными
лагранжианами, взаимодействующих с гравитационным полем, новых
фиктивных частиц не возникает. Такие [частицы и "соответствующие им
диаграммы [появляются только при включении поля с калибровочной
группой более широкой, чем в теории тяготения, например,
электромагнитного поля или поля Янга-Миллса. Не рассматривая этот
случай подробно, при
(23.43)
(X/2)J^V(TPW d4*
[(23.44)
и имеет выражение
(23.45)
X
AS = -(5/2)i6<4>(0) J In h
(23.46)
210
ведем выражение для континуального интеграла, соответствующего
взаимодействующим электромагнитному и гравитационному полям:
J exp {iS [giw, ЛД} A [g] П б [дц (A**v Av)} х
X
х п 6 (dv h^) g*i2 п dgw п dAp,
м- (.1 }
л д = sg - v4|J (a^v-av лд x
X[(dx-Ар-dpA^g^ g}-p d4 x,
где - действие свободного гравитационного поля; A [g] равно произведению
определителей
det A det (dv (h^dv)), (23.48)
в котором А - оператор (23.21). Наличие в этом произведении не-
тривиального второго множителя показывает, что несущественная фиктивная
скалярная частица, которую можно было бы ввести при описании
электромагнитного поля, также взаимодействует с гравитационным полем.
Таким образом, в ковариантной теории возмущений для электромагнитного и
гравитационного полей участвует фиктивная нейтральная скалярная частица.
§ 24. Каноническое квантование
гравитационного поля
В предыдущем параграфе построены формализм ковариантного квантования
гравитационного поля и релятивистская теория возмущений по общей схеме
квантования калибровочных полей, намеченной в § 20. При переходе к
каноническому (операторному) квантованию возникают две задачи: 1)
привести действие гравитационного поля к гамильтоновой форме; 2)
преобразовать континуальный интеграл в форме (23.25) к интегралу по
каноническим переменным. Первая из указанных проблем могла бы быть
решена сразу после написания Эйнштейном уравнений теории тяготения
(1916 г.). Однако прошло более сорока лет, прежде чем ее решение было
дано Дираком в 1958 г. [33]. По-видимому, дело было в недостаточном
внимании к проблеме, а также в ее технической сложности.
Рассмотрим переход к гамильтоновой теории в формализме кон-
тинуального интеграла. Гамильтонова формулировка классической теории
тяготения была впервые разработана Дираком [33]. Несколько вариантов
такой формулировки было получено многими авторами [32-37, 8]. При
построении явно гамильтоновой формы уравнений Эйнштейна встречается
трудная задача - решение уравнений связи. Рассмотрим обобщенную
гамильтонову формулировку теории тяготения, при которой не надо решать
уравнения связи, а можно ограничиться лишь проверкой их коммутационных
соотношений.
8*
211
Такая обобщенная формулировка является теоретико-полевым аналогом
развитой в § 16 формулировки для конечномерных механических систем.
