Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
det А = J ехр (i | б11 (лг) А^ 0V (х) di х) П ddд (х) dQv (х), (23.23)
где 0^ (х), 0^ (х) - антикоммутирующие классические поля, удовлет-
воряющие соотношению
и аналогичным соотношениям для (0, 0,), (0, 0). Теперь интеграл
(23.16) можно записать в виде
и непосредственно применить для формулировки теории возмущений.
Однако преобразуем его еще, воспользовавшись произволом в выборе /•*.
Метод преобразования, предложенный Тофтом [10], был объяснен в § 22 на
примере поля Янга-Миллса. Интеграл (23.25) не зависит от по самому
построению. Поэтому можно усреднить его по № с произвольным весом.
Возьмем в качестве веса экспоненту от квадратичной формы полей:
где TI^V - тензор Минковского. Усреднение проводится явно и дает
выражение
| ехр {iS [g] -f- (icc/4) J др йю> %v да hva dvx + i J 0№ Atlv 0V d4 x} X
содержащее квадратичную форму продольных частей поля /и* с про-
извольным коэффициентом а. Из данного рассуждения следует, что интеграл
не зависит от а.
Получим из выражения (23.27) диаграммную технику теории
возмущений. Будем считать независимыми переменными в континуальном
интеграле (23.27) /i**v - У-gg^. а также 0>*, 0**. Положим ftliv = yjHV _р.
xuliv (23.28)
0i* (x)0v (у) -f 9V (г/)0^ (*) = 0
(23.24)
J ехр {iS [g] + i J 6й Apv [g] Qv'd\x} I v h^-е") x
X (g5'2 П d0**d01*
'j 11
(23.25)
exp {(ia/4) j № (x)r)wv/v (x)dix),
(23.26)
(23.27)
206
и будем считать u^v тензорным полем, описывающим гравитационное поле.
Функционал действия принимает вид
5= S2 + 2 и"5"+2, (23.29)
: 1
где S2 - квадратичная форма; Sn - форма степени п и переменных u^v и их
первых производных.
Линеаризация (23.12) во многих отношениях может быть неестественной.
Она может нарушать сигнатуру метрического тензора, если u"v
недостаточно мало. Существуют параметризации, свободные от этого
недостатка, например экспоненциальная параметризация
ft.uv = ^(ехр хф)р (23.30)
В принципе можно вычислить разложение (23.29) и в этой пара-
метризации. Отметим, что квадратичная форма S2 от выбора параметризации
не зависит.
Вследствие инвариантности действия по отношению к преобразованиям
(23.4) квадратичная форма
X =1/4| ( -'%а8"6Р + V2 Г)"Р %ф Tlva + V4 Tluv Цри TfP) X
X да dg ира d4 х (23.31)
вырождена. Она не содержит продольных компонент. Введением
вспомогательных фиктивных полей 0Ц, 0г мы добились того,- что
квадратичная форма в экспоненте подынтегрального выражения в
(23.27) стала невырожденной. Тем самым однозначно определяются
операторы, обратные операторам квадратичных форм по и^, 0*\ 0ц, т. е.
пропагаторы частиц, соответствующие линиям диаграмм.
Будем изображать сплошной линией пропагатор гравитона ^/juv/jpa), а
пунктирной - пропагатор фиктивной векторной частицы < 0p0v ). Вершины
диаграммы порождены формами Sn+2 из разложения (23.29), а также формой j
0M,i v0vd4x, включающей трехлинейное взаимодействие ~0ц0 гравитона с
фиктивной векторной частицей.
Элементы диаграммной техники имеют вид
(23.32)
Выражение, соответствующее пропагатору гравитона, дается формулой
Guv.po (k) = (2jk2) (тр тр + т]Ц° тр + (а-1 -2) тр тр) +
-f (2 (1 - а -1) Ar4) (2Р kv тр + 2Р kP тр-кУ- kP тр-k4 № тр -
-hP ka t]vp-kv ka т]ЦР), . (23.33)
207
которая содержит параметр а. Величина а-1 аналогична параметру di в
квантовой электродинамике и теории Янга-Миллса и имеет смысл
коэффициента при продольной части пропагатора. Физические результаты
не зависят от произвола в выборе параметра а. Пропагатор фиктивной
векторной частицы имеет вид
GMV = -nwv/^2. (23.34)
а вершина взаимодействия ее с гравитонами дается выражением
^ ^ ^1рк20+к1ё1<2р'>]> (23-35)
причем kx + /г2 + k3 = 0.
Приведем также выражение для вершины третьего порядка, соот-
ветствующее линеаризации (23.28):
'"ЬЛрстЛ vA/Hpt Ч" ЛуаЛрхЛрх ~Ь ЛрхЛхрЛ va Ч~ ЛроЛ?рЛхт 4"
ЛУТЛРРЛАСТ ~Ь Л У<ГЛРРЛЗ.Т) Ч~ Лр уСПРаЛях 4" ?1 РтТ1 Асг) "4"
"Ь (^2p^3v + ^2v^3 р)Л?.рЛ<7Т "4" (^2р^3 v"b^2 V^-Зр) (ЛЯаЛрТ Ч"Л>-рЛ<гх) klvklx (ЛрЯ,Лрст
"Ь ЛррЛЯсг) ^1 v^lo('4pi.rlPx'4_?1ppTlvr) ^lpAlxX
^ (Л ГХЛРХ'ЬЛ ГРЛ >.О) ^1р^1а(Л УЯ,ЛРХЧ"Л хрЛ ХХ) ^2 v^ЗpЛvaЛpт
k% х^ЗЛЛроЛ рх ^2р^ЗрЛ Я.аЛ vх ^2р^зУПР<*Л vx ^2 х^ЗрЛ ХхЛ Р0
&2 ^зУЛрхЛрр ^2р^зрЛх.хЛ vct ^гр^зяЛрхЛ vo "Ь сумма по
перестановкам пар (p., v), (а, т), (Я, р). (23.36)
Вклад от данной диаграммы получается, если произведение выражений
вида (23.33)-(23.36), сопоставленных ее элементам, проинтегрировать по
внутренним импульсам, а результат умножить на
г-1 (-l)s(i/(2ji)4y-D-\ (23.37)
где г - порядок группы симметрии диаграммы; I - число внутренних
линий; v - число вершин; s - число петель фиктивных векторных частиц.
Соответствующие этим полям фиктивные векторные частицы являются
фермионами, т. е. для них нарушается связь спина и статис
20"
тики. Это показывает, что их роль сводится к вычитанию вкладов
не физических степеней свободы.
Помимо описанных диаграмм теория возмущений содержит вкла-
ды перенормировочного типа, пропорциональные степеням 6(4> (0).
