Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
62. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М., Гостехиздат, 1946.
Глава
IV
КВАНТОВАНИЕ
КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ
§ 15. Основные идеи построения квантовой
теории калибровочных полей
Геометрическая природа калибровочных полей проявляется и при
построении их квантовой теории.
Попытки квантовать геометрические поля стандартными методами
приводят к трудностям и противоречиям, которые встречаются уже в задаче
ковариантного квантования электромагнитного поля, простейшего по своей
геометрической структуре. Здесь трудности можно обойти, квантуя
электромагнитное поле по методу Ферми с использованием индефинитной
метрики (см., например, [1-3]). Оказалось, однако, что некритическое
перенесение обоснованного в квантовой электродинамике метода Ферми на
более сложные системы может привести к нарушению унитарности теории.
Впервые это было обнаружено Фейнманом [4] в 1963 г. на примерах теории
поля Янга-Миллса и поля тяготения. Фейнман наметил путь к устранению
обнаруженной им трудности. Он показал, что унитарность диаграммы,
имеющей вид замкнутого кольца, можно восстановить, если вычесть из нее
другую диаграмму, тоже имеющую вид кольца и описывающую
распространение фиктивной частицы.
Метод Фейнмана не давал возможности прямого обобщения на более
сложные диаграммы. Решение проблемы для любых диаграмм было дано в
1967 г. де Виттом [5], а также Л. Д. Фаддеевым и В. Н. Поповым [6, 7] с
помощью существенно различных подходов. Объединяет оба подхода
применение метода континуального интегрирования, дающего схему
ковариантной теории возмущений для калибровочных полей.
Наметим идею, которая является основной во всей дальнейшей схеме
построения квантовой теории.
Поля, получающиеся друг из друга калибровочными преобразованиями
(например, А", и + д^Л в электродинамике), описывают одну и ту же
физическую (геометрическую) ситуацию и поэтому физически
(геометрически) неразличимы. Это наводит на мысль,что основными
объектами теории должны стать классы полей, получающихся друг из друга
калибровочными преобразованиями. Так, в электродинамике в одйн класс
полей А ^ объединяются все поля вида Ац + дцЛ.
Построить теорию, в которой основными объектами являются классы,
помогает обращение к методу континуального (функциональ
155
ного) интегрирования. Этот метод позволяет записать величины,
представляющие физический интерес, в виде интегралов "по всем полям" с
весом exp (iS/h), где S - классическое действие системы, Й - постоянная
Планка*. В формализме континуального интеграла можно получить теорию,
в которой основными объектами являются классы, если окажется возможным
записать континуальный интеграл как интеграл по всем классам. Это можно
сделать, если, например, вести интегрирование по однократно
пересекающейся с каждым классом поверхности в многообразии всех полей.
Тогда каждый класс будет иметь на указанной поверхности точно одного
своего представителя. Возникающая на таких поверхностях мера интегри-
рования меняется при изменении формы поверхности, однако все
физические результаты не должны зависеть от выбора поверхности.
Необходимая для теории калибровочных полей модификация кон-
тинуального интеграла объясняется на примере квантования конечномерных
механических систем в § 16-18. Изложение в § 16 и 18 следует работам JI.
Д. Фаддеева [8, 9]. Применению метода континуального интеграла в теории
поля посвящен § 19. Далее (см. § 20) строится модификация континуального
интеграла, необходимая в теории калибровочных полей. Центральными
здесь являются вопросы выбора меры в функциональном пространстве и
перехода в континуальном интеграле от одной калибровки к другой. Здесь
же выписаны интегралы для функций Грина и намечена теория возмущений
для их вычисления. Глава завершается рассмотрением конкретных
примеров. В § 21 продемонстрировано, как методом континуального
интегрирования можно получить известные результаты квантовой
электродинамики без обращения к индефинитной метрике. В § 22 подробно
рассмотрено квантование полей типа Янга-Миллса. В частности, на этом
примере реализована схема построения функций Грина, S-матрицы и теории
возмущений и рассмотрен переход от одной калибровки к другой. В § 23
решена задача о ковариантном квантовании поля тяготения Эйнштейна.
Гамильтонова форма теории тяготения исследована в §24. Здесь же
построена схема канонического квантования гравитационного поля и
обсуждена в формализме континуального интеграла связь кова- риантного
квантования с каноническим. В § 25 рассмотрены попытки построения
единой калибровочно-инвариантной теории слабых и электромагнитных
взаимодействий. В § 26 обсуждается описание вихреподобных возбуждений
в квантовой теории поля.
Квантовая теория калибровочных полей является быстро развивающейся
областью, и объем этой книги не позволил охватить многие интересные
вопросы. В частности, за пределами изложения остались вопросы
ренормировки калибровочных теорий [10, 11], вывод тождеств Славнова-
