Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Л = 2iSft0 ?)*]-Shl" Нп\ (14.9)
ye = 2iSftlt*D4-e'wSpfcO^]. " (14.10>
Таким образом, электрический ток может возбуждаться как
электрическим, так и магнитным полем, причем плотность тока ли-
нейно связана с напряженностями этих полей. Уравнения (14.9)-
(14.10) устанавливают связь между электродинамикой сплошной
среды и теорией дислокаций в ней, так как кручение выражается
через плотность дислокаций и является измеримой характеристикой.
В частном случае полусимметрической геометрии, т. е. когда тен-
зор кручения представим в виде Svo^ = j S[V6!J], получим
Jv- = SvfM*;
SV*F^ = 0
или
ji = iS0D' - J° = -iS*D*;
SkBк = 0; S0Bl = ie"'Sfc?,.
Обозначим инварианты электромагнитного поля в среде как
/х = GM'v*G(iV = i (HD)-, /2 = = i(BE); L = G^F^ =
= 2 (BH -DE).
Из (14.11)-(14.12) следует, что
(L/2)SX = F^J"; (14.13)
(V4) St = (14.14)
Свертывая (14.11) с S^, получаем = 0, т. e. 4-мерные векторы
тока и кручения ортогональны друг другу. Из (14.14) следует, что
(У4) 5г = -J°Hi -isihl JkDl,
т.е. при /х =/= 0 3-вектор кручения напоминает силу Лоренца, дей-
ствующую на магнитный заряд.
Свертывая (14.14) с *FXV, находим соотношение между плот-
ностью магнитной энергии и вектором плотности тока:
(НВ) = (i/Jo)eiklHDkBi = (i/S 0)гш S tE hH i.
Таким образом, геометрические свойства среды связаны с характером
энергетических процессов в ней. Если представить электродинамику
произвольной сплошной среды в виде свободной теории, то в случае
полусимметрической геометрии компоненты вектора кручения St
представляют собой с точностью до множителя отношение силы Лоренца к
инварианту действия электромагнитного поля, а временная компонента 50 -
отношение джоулевых потерь к этому ин
(14.11
)
(14.12
)
148
варианту. Проводимость оказывается равной S0 [см. (14.11)]. С точки зрения
геометрической теории дислокации ведут себя так же, как внешние
источники.
Об инвариантных свойствах тензора энергии-импульса в элект-
родинамике сплошной среды. Как известно, понятие фотона в среде
является плохо определенным. Отчасти это связано с неоднозначностью
определения тензора энергии - импульса (ТЭИ) в произвольной среде.
Используя результаты предыдущих параграфов, определим ТЭИ
электромагнитного поля в произвольной среде как вариационную
производную лагранжиана [26]
?=-(1/16 n)Vr^'G^Fllv (14.15)
по метрике g^. Тензоры G^v и FuV имеют вид (14.3). ТЭИ выглядит
следующим образом:
f"v = V^g T^--=-(Y Z^T/8л) gxk (№T (14.16)
В силу (8.14) ТЭИ (14.16) ковариантно сохраняется и, по определению,
симметричен и локально калибровочно-инвариантен. Он позволяет получить
инвариантные квадратичные соотношения между энергией и импульсом
фотона в среде, аналогичные уравнению массовой оболочки в квантовой
механике. Эти соотношения справедливы для плотностей потоков импульса
и энергии, т. е. выполняются не для отдельных частиц, а для единичных
объемов среды. В простых средах (однородных, изотропных,
недиспергирующих, покоящихся, прозрачных), а также в вакууме из этих
квадратичных соотношений можно "извлечь корень" и получить аналог
известных из квантовой механики линейных соотношений между энергией и
импульсом фотона Е = ср, где Е - энергия фотона, р - его импульс, с -
скорость света. В общем случае это сделать нельзя.
Закон сохранения энергии - импульса в среде имеет вид
О = Уц Tw = -(1/8я) [gxX G*" + Va gvX Vtu F%t] +
+ ga GvK Vn F^ + Va gvl V[n Gu]]. (14.17)
Тождество (14.17) связывает законы сохранения ТЭИ и уравнения поля.
Легко видеть, что для получения закона сохранения V^j'nv = 0 в
произвольной среде необходимо иметь четыре группы уравнений,
определяющие величины V^G^, v^Gatj, Vn/7^ и V [р.Т'ат] • Используемые
обычно материальные уравнения В = = pH и D = гЕ представляют собой
частный случай условий вида
Qnx == gnXgtap^ (14.18)
и справедливы в простых средах и вакууме. Условия (14.18) уменьшают
вдвое число необходимых уравнений. ТЭИ в этом случае принимает вид
Т" = -(1/4я) (G** V* ^ GaTFax). (14.19)
149
Тензор Т% ковариантно сохраняется и удовлетворяет тождествам Т?Т? =
(1/16л)2 б"(/ь /о -f L2). (14.20)
Электромагнитная волна в вакууме определяется как поле, для которого
все инварианты равны нулю, т. е. Д = /2 = L - 0. Обобщим это условие на
сплошную среду и определим электромагнитную волну в среде как поле, для
которого 1г = I2 = L = 0. Тогда из тождества (14.20) следует
2Т?Т'0+(То)2 = 0. (14.21)
i
Компоненты рА = Т'0 = (1/4яс)[ЕхН] и рм = Г? (c/4n)[BxD] представляют
собой векторы плотности потока импульса в форме Аб- рагама (рА) и в
форме Минковского (рм) соответственно. Из (14.21) следует, что эффективно
рА и рм ведут себя как ко- и контрава- риантные пространственные
компоненты одного 4-мерного вектора. Уравнение (14.21) можно
рассматривать как аналог уравнения массовой оболочки р2 + т2 = 0 для
плотностей потоков соответствующих величин. В простых средах рм = -
с2п2рА и (14.21) переходит в (рМ)2 = с2п2 (Го)2 или _ (\/с*п2)(Тg)2, где "2 = ер.
