Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
пространства [12-15].
При переходе к (г + 4)-мерному пространству, обобщающему
5- мерное пространство Калузы-Клейна, необходимо представить
метрический тензор в виде:
I ь
?сф=1
guv + gaHS. Av\gabK ] R. v = l ...4; a,b = 1 r;
Sab Av I gab J CC, P=l, ..., Г +4.
b
g"P =
guv - g^A°
~ g"v All gab+g^Al
(13.46)
Преобразования координат сохраняют локальную ортогональность К4 и Кп_4,
если х"' = fix"); ха' = ср (х", ха).
Как показал Кернер [13], скалярная кривизна расслоенного пространства
с метрикой (13.46) имеет вид
R = К + g^gab^A + g^gabA^Al
145
Выбирая специальным образом систему координат, можно избавиться от
последнего члена и записать скалярную кривизну в инвариантном виде:
R = К + g*vg**gabKA = К + La,
где К - скалярная кривизна базы; LA - лагранжиан калибровочного поля.
Легко видеть, что лагранжиан L = У-g R, где g-детерминант метрического
тензора Vlt описывает единым образом систему гравитационного и
калибровочного полей. Варьирование L по и ^приводит к обобщению
уравнений Янга-Миллса на риманово пространство - время: gx%F^- v =
^g^flcAxF0^ и уравнениям Эйнштейна для случая, когда источником
гравитационного поля служит тензор энергии - импульса калибровочного
поля (13.40).
§ 14. Электродинамика сплошной среды в
геометрическом аспекте
Дислокации среды как источники электромагнитного поля. Как
уже говорилось, геометрия многообразия определяется полностью заданием
трех величин: поля симметричного тензора второго ранга, его ковариантной
производной и тензором кручения. В случае 3- мерной сплошной среды этим
геометрическим понятиям соответствуют: тензор деформаций
(симметричный тензор второго ранга), его ковариантная производная и
тензор плотности дислокаций.
Задание кручения можно заменить заданием ковариантной дивергенции
некоторой антисимметричной тензорной плотности. Поэтому уравнения
Максвелла в среде можно рассматривать чисто геометрически как уравнения,
определяющие кручение через источники поля. В этом случае компоненты
тензора кручения играют роль коэффициентов пропорциональности между
напряженностью электромагнитного поля в среде и током.
Как известно, классические уравнения электромагнитного поля в среде
(или в вакууме при наличии материальных источников) связывают два типа
физически различных величин: характеристики поля и характеристики
вещества. Для того чтобы найти поле с помощью этих уравнений,
необходимо задать либо сами источники и характеристики среды, либо их
выражение через характеристики поля. В последнем случае дополнительно к
уравнениям поля постулируют соотношения типа линейной связи между
током и полем (например, закон Ома) или представляют ток как движение
заряженных частиц, для которых пишется уравнение движения. Чтобы
сделать электродинамику сплошной среды чисто геометрической Теорией,
необходимо выразить источники поля через геометрические величины так,
чтобы уравнения поля стали свободными. Поскольку неоднородную
неизотропную сплошную среду можно рассматривать как модель
неевклидова пространства, такой подход позволяет при
146
дать характеристикам среды геометрический смысл. При этом естественно
возникает связь между источниками и полями.
Пусть уравнения электромагнитного поля в среде имеют вид:
G"v:v = 0; (14.1)
F[jiv; t] = 0, (14.2)
где точка с запятой означает ковариантное дифференцирование по полной
связности с кручением, квадратные скобки означают альтернацию по всем
индексам внутри скобок; крышка-тензорную плотность. Выражение для
тензора поля имеет вид (здесь xi = ic^):
F nv ;
G^v =
• 0
в*
-ВУ
-i Ех\
-в*
0
Вх
-i Еу
ВУ
~ВХ
0
-i Ег
. Я*
i Еу
i Ez
0 /
0
Нх
-Ну
-i
Dx\
-Hz
0
нх
-
\D"
Ну
~НХ
0
-\D*
Юх
i
D"
Юг
0 j
(14.3)
Ковариантное дифференцирование в уравнениях (14.1)-(14.2) ведется по
неизвестной связности, которая в общем случае имеет вид
(13.1) . Раскрывая левую часть уравнений (14.1), получаем
Gv\ v = dv {GvX) + Qvt GVT - 2QVT т GvX + Sxx GVT - 2SVT T GvX. (14.4)
В (14.4) сумма подчеркнутых членов зависит только от выбора системы
координат (криволинейная, вращающаяся и т. п.) и не зависит от выбора
параллельного переноса. Поэтому в голономной системе координат
уравнения (14.1) равносильны уравнениям
dv(GvX) = 2SvxxGvX - SvxxGvX. (14.5)
Отождествляя правую часть (14.5) стоком источников, находим соотношение
между током и компонентами поля, обобщающее закон Ома:
jx = 2SVT х GvX - S VT * GVT = 2* SvXx *GVT. (14.6)
Аналогично вторая пара уравнений Максвелла d^/Av] = 0 приводит к
соотношению
2 Svxx*FxX = SVXX*FVX, (14.7)
где *FvX = {M2Y-g)ev*'>u7:'(it; ev^T - дискриминантный тензор. При
наличии магнитных источников вместо (14.7) получим
2 Svxx*FxX - SVXX*FVX = *Jxm. (14.8)
Система уравнений (14.1)-(14.2) дуально инвариантна, если вы-
полняются условия (14.6)-(14.7) при наличии источников только
147
электрического типа или (14.6)-(14.8)-при наличии источников
обоих типов. Равенства (14.6) приводят к соотношениям [25]:
