Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
космологическими свойствами Вселенной и свойствами элементарных
частиц.
Единая теория гравитации и электромагнетизма Калузы-Клейна.
В основе 5-мерных теорий, развивавшихся Эйнштейном, Калугой, О.
Клейном, Манделем, В. А. Фоком, Ю. Б. Румером [2, с. 190; 11, 60, 61],
геометрически объединявших электродинамику и гравитацию, лежит
замечание Ф. Клейна о том, что каждая механическая задача о движении
материальной точки с помощью пространства высшего числа измерений
может быть сведена к определению пути светового луча, проходящего в
соответствующей среде. Вместо
4- мерного риманова пространства в 5-мерной оптике (или 5-
оптике) рассматривается 5-мерное многообразие, в котором 5-я координата
пропорциональна действию 5: хь = S/mc. Траектории заряженных
* Т. е. когда метрика приводится к виду g = (-1,-1, -1, 1).
143
массивных частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем в
соответствуют тогда траекториям луча света, распространяющегося в 5-
мерном римановом многообразии с метрическим тензором
Здесь gi = {e!mc2)At, где At - электромагнитный вектор-потенциал, е -
электрический заряд.
Существование кванта действия S отражается в топологической
замкнутости пятой координаты. Иными словами, координатная линия пятой
координаты представляет собой окружность S1. Легко видеть, что
компоненты 5-мерного метрического тензора не зависят от хб. Это условие
отражает независимость наблюдаемых явлений от пятой координаты и
называется условием цилиндртности. Оно означает ортогональность Vk и
хъ в выбранной метрике.
О. Клейн и В. А. Фок показали, что квантовомеханическая задача о
движении частицы со спином нуль может быть сформулирована как задача о
распространении скалярных волн в 5-мерном пространстве, если на
зависимость скалярной волновой функции яр от пятой координаты наложить
условие цикличности:
В самом деле, волновое уравнение для 5-мерного пространства 32яр/дха2 = 0
соответствует в этом случае в 4-мерном пространстве уравнению Прока: [?
- {тс!К)2]яр = 0.
Аналогично для векторных полей. Уравнения Прока для массивных
векторных мезонов в 4-мерной формулировке благодаря условию
цилиндричности превращаются в 5-мерные уравнения Максвелла. Таким
образом, 5-оптика объединяет электродинамику и динамику массивных
векторных мезонов в единую 5-мерную теорию Максвелла. Физически это
значит, что она приводит к необходимости учитывать в электромагнитной
теории света при наличии коротких волн X < й/тс кроме обычных фотонов
еще и "тяжелые фотоны" - векторные мезоны. Как заметил Ю. Б. Румер
[60], при описании звуковых волн в неограниченном плоскопараллельном
слое возникает сходная ситуация. Если в звуковом поле представлены только
длинные волны X > I, где I - толщина слоя, X - длина волны звука, то
имеются только обычные 2-мерные фононы, распространяющиеся без
дисперсии. Если же в звуковом поле представлены и короткие волны X <С
IIп, то необходимо учитывать и 2-мерные "тяжелые фононы",
распространяющиеся с дисперсией. При
(13.44)
Контравариантные компоненты gw имеют вид
(13.45)
? (х1, х2, Xs, х4, хъ) = я|? (х1, х2, х3, х4) exp (imcx5/k).
144
этом возникает альтернатива: 1) отказаться от 2-мерного описания звукового
поля и перейти к 3-мерному уравнению или 2) сохраняя 2-мерное описание,
ввести наряду с обычными 2-мерными фонона- ми "тяжелые фононы".
5-Оптика приводит к йоявлению дополнительного скалярного
гравитационного поля %, которое в классической теории нельзя отделить от
обычного гравитационного поля, связанного с 4-мерным метрическим
тензором, но которое можно выделить при квантовании 5-мерной теории.
Это поле связано с 5-мерным метрическим тензором соотношением g65 = 1 +
%. Наличие %-поля в 5-оптике приводит к исчезновению особенности у
кулоновского потенциала при г - 0 в задаче о поле заряженной точечной
массы.
Заметим, что в теории Калузы-Клейна вектор-потенциалы элект-
ромагнитного поля трактуются как компоненты метрики (4 + 1)- мерного
конфигурационного пространства. Поэтому градиентные преобразования
второго рода оказываются тензорными преобразованиями недиагональных
компонент 5-мерного метрического тензора. Л ц отличны от нуля при таком
подходе только в специальных (неинерциальных) системах отсчета и при
наличии 5-мерного принципа эквивалентности могли бы считаться
нефизическими величинами вместе с FliV, играющими роль коэффициентов
связности. Однако присутствие тензорного поля g^v, векторного поля Лр, и
скалярного поля % делает теорию Калузы-Клейна привлекательной для
обобщений на случай калибровочных теорий со спонтанным нарушением
симметрии в римановом К4 и суперсимметричных теорий.
Обобщение теории Калузы-Клейна на произвольные калибровочные
поля. Структура объемлющего пространства, возникающая при вложении
риманова К4, локально идентична структуре расслоенного пространства.
Введение метрики в объемлющем пространстве позволяет описать свойства
любого калибровочного поля как свойства метрики объемлющего
