Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
+ 2:
. - . . . z
А-1
t г + -
<15)
Подставляя сюда разложение (9) и беря вычет только при z = 0T получаем
/ ОО N
вп (0 =/"(20 + 22 Tkln.k (2 0 ) е~^\ (16)
V fe^i j
С помощью рекуррентных соотношений TVi (х) + Tk-1(*) " %хТк(х) (х = 1 +\),
d
dt
Im (20 =-/"+! (20+ /m-i (20
можно убедиться в том, что функция en(i) удовлетворяет основному уравнению (2). Выполнение начального условия очевидно, а граничное условие следует из формулы (12).
Посмотрим, как выражение для en(t) стремится к своему граничному значению при t^oo. Для этого надо оставить en(t) записанным в виде контурного интеграла. Он равен тождественно интегралу, действительно вычисленному вдоль контура по <р (т. е. .найденному пе с помощью теории вычетов), минус тот вычет,
2SG
который контурный интеграл по окружности имеет при z=l/". Соответствующий полюс был исключен при нахождении формулы (16), а теперь удобнее сначала проинтегрировать вдоль самой окружности, а затем отбросить вклад лишнего полюса.
Это последнее слагаемое, уже с обратным знаком, равно т. е. значению еа по достижении стационарности (см. [4]). При больших t вклад в интеграл по <р дают только значения tp, близкие к 0, или, что то же самое, к 2я. Интегрирование можно распространить от ф =-с" до <р = оо. Разлагая дробные выражения, входящие в (14), по ф и удерживая линейный член, получаем
ОО
еп (/) = и п + -- Г ехр (- ср#(r) + шф) х
2 л J
-ОО
ц ехр (up) ь ехр (fy) ^ __
L 1- и ехр (*<р) и - ехр (i<p) J
I --- Тг г ( 1 гг in \г п2'
+ *("-*>' j expj^-(ф
'"СО "я ехр ("
= ип- 4 "}
2л (и -I)2
(17)
Таким образом, при ХфО, un(t) стремится к предельному значению экспоненциально.
Если А,-О, решение (16) приобретает более простую форму:
е,г (t) - рп (20 + 2 || /п+* (2ft) j ехр (-2/). (18)
Это можно преобразовать к конечной сумме бесселевых функций, но форма (18) нагляднее. Чтобы дать представление о зависимости этой суммы от п и t, приводится таблица. При f = 0,3; 1; 4; 10 строкой ниже приведены также значения функции
1-Ф(п/2У0> г^е (r) - интеграл ошибок, что позволяет сравнить зависимость искомой величины от п при дискретном и непрерывном изменении. 1 - Ф(я/2]//) -асимптотический вид (18) при *-оо.
С помощью формулы (16) получается и решение более общей задачи, когда в момент времени t = 0 на нулевом перехвате возбуждение включается и затем равняется заданной функции /(/), а па всех остальных перехватах оно 0 при /=0. Если сохранить обозначение e"(f) для случая (16), то в общем случае
(19)
281
КЭ
ч
с
с>
-г
О
о
о
О
С*Э
- Г'.
о 3 о о
о
о
о
о
- о СО
еч <" "
ООО ООО
о' о* о*
S
о
о
о
о
см
о
о
¦о
й о о
О в
со
n
-< о о о
о
р"
II
с
о
ь.
о
о
о
to е- 1Л о
ю о ^
Р? и сч
о о е> о
о>
II
г;
оо
о о
г-J о
о о
о о
о о
t-- о [•¦- ¦ 1 о сч о о о о
I
ЯЛ 42 ^
- |/5 1Л
О* OJ ^
О О О О
о о о' о"
• О -Й
^ *7 Ф
Cfi ^ - С Й
§- " т ь
о о о о_
о с> о* о" о" о"
.о
т-.
о
г-
в
с
<?> СЧ ы __
to ^ (r) о
^ <м -*г t- >-1 Л
О О о о ^ (tm)
сГ о о о* о в
¦л
Н
с
со
а
щ
о
о
о
•00
§
ООО
е
о> о оо
С>?
с
л
о
СО
1ч.
к.
я S
о о
со
<У>
О
О
- 1Л
•*Г <М О
Й f) й
о -
о" о о
о
яэ
LT3
[|
SJ
LO
о
о
<N
fw
о
о
о
сэ
о
о
о
LT>
СО ?N
о
СО
о
ь-
|ч-
о
S,
ст> о о" О
- ^ О)
- о0
h-
сг-
СО ^ л rt
" t?>
IM IM
ч*
II
с
to
о
ь
о о о о'
Is-
S
о
О(c)
С-1
о
TxJ
S ?
"' о
CT CO CT> rv О Л Ь7
S
гл
t--
О "Т' м см
оо
- О ~
- Г- h-
:-3 л "
о о'- о'
ь.
о к о м
S §
S
05 О
Л 0> U? **
о о -г ч*
о о о о
о* о о
vOirt"^<7>iP(3C''i с " - W
о о о' о* о" о о'
?
О s- h-
сч ч* >*• о
О " (c) ^ V
о о о Q о
с О (r)" (c)* Q* о"
а0 h-
(О ф ui
о ^
О О*1 о
CN
1Л
сч
г- -
- г-
со
сГ о"
t?>
'гг
о
?-1 00 lft 00 т? Ч*
О иг, сЛ
" " и
1C
о о о*
- V t 1Й
Л " Ч Ifi
МО (О Ю <0
о
О
о (c)' сГ
<*>
СХ
-¦ с* o'
$
о ю ^
со oi t'
N " ^
о' о о
О C'j
СО (Л
ч*
СО
ОС
•XI
г-
о
г-
CS
г-
2-)
I'-
К tj< >Т LS0 N, f, * •¦ о о
о
tv.
[--
о
Э0
ITi
С')
сч
а
ОО
о
ю
о*
ч0
п Л
|Л
l/i
2. Распространение импульса в гладком нервном волокне. Запишем уравнение распространения заряда по нервному волокну в той его части, где состояние подпороговое:
де__ 1 д?е е /пм
dt ^ RC дх* ~7С '
Оно аналогично (1) к (2). Здесь <е - зарад, # -сопротивление протоплазмы, С - емкость, г - сопротивление мембраны, отнесенные к единице длины. При этом е<е^ Соответствующее уравнение для надпорогового режима есть
(21)
dt RCdx*
Оно относится к участку, где в данный момент e^e^iet. В нем
i - ток сквозь мембрану, отнесенный к единице длины. По предположению, i на этом участке не изменяется. Считается, что когда е-е2л потенциал, и соответственно заряд е принимают максимальное значение. Это позволяет простым образом найти ско-рость стационарного распространения импульса.
Для сокращения записи введем следующие переменные x'=yiRCx, a=(irC)"S в которых уравнения (20) и (21) выглядят так:
де дге
di1 д*'а
ае, (22)
= + (23)
dt!
Выбираем зависимость е от координат и времени, отвечающую стационарному режиму распространения
