Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Компанеец А.С. -> "Физико-химическая и релятивистская газодинамика" -> 9

Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.

Компанеец А.С. Физико-химическая и релятивистская газодинамика — М.: Наука, 1977. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikohimirelyagazodinamika1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 93 >> Следующая

Ахо3 In (2,35/х0) - 1, (24)
Это уравнение имеет смысл только в том случае, если А - малое число.
Сравним теперь отвод энергии от электронов к квантам чисто тормозным и комптоновским механизмом 1.
Полная энергия квантов, испускаемых электронами в единице объема, равна
со
(il) = ^ Г ы-пк, W (25)
\ * /в J тв n'Wh J V 2 / nWh '
0
[2, с. 424]. Все кванты, частота которых больше со0, отбирают энергию у электронов комптоновским механизмом, причем в среднем энергия квантов доходит до 3 /гТ. Поэтому в единицу времени отбирается энергия
со
(dE/dt)c = 3kT j (26)
<й,
1 Это сравнение указал нам Л. Д. Ландау.
29
Основной вклад в интеграл дают малые частоты. Поэтому функцию К0 под интегралом можно заменить ее приближенным выражением и во избежание расходимости на верхнем пределе интегрировать не до бесконечности, а до со - kT/h. Отсюда получается
Если не пользоваться приближенным выражением для Ко, то в формуле (27) будет стоять еще численное слагаемое при логарифме. Именно, вместо In2 (4/-у*0) интеграл даст In2 (4/ух) -
0,27. Но это вряд ли можно считать уточнением, потому что частота <о0 найдена оценочным способом.
Отношение энергии, передаваемой комптоновским механизмом, к энергии, передаваемой квантам при испускании, равно
что может достигать нескольких десятков.
Полагая, что кванты с частотой меньше совсем не испытывают комптоновского рассеяния, мы совершаем некоторую ошибку. Можно предположить другой, несколько более точный способ вычисления (dE/dt). При достаточно малых частотах состояние квантов стационарно и при х->0 стремится к 1/х, т, е, к предельному виду формулы Планка. Поэтому п удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению, которое полу чается из (22), если отбросить в нем дп/ду. Кроме того, следует отбросить и п по сравнению с nz и последовательно считать х малой величиной во втором слагаемом правой части. Это дает3
Положим теперь n-z'lz, г=х+^> Тогда для ф' по-
лучается уравнение
Его можно приближенно проинтегрировать, если считать коэффициент при V большим числом (по методу Вентцеля - Кра-мерса - Бриллюэна). С этой точностью
kT
n2c*h
В
4kT 3 BkT . " 4kT
------------------------n2----------
yk(o 2 yhfo0
(27)
(28)
-W- + - (1-rw) ln^-0.
dx \ dx J x x
(29)
4 A
x
ф' in^=,0.
X
(30)
(31)
2 Дальше предполагается, что In (2,35/х) >1.
30
Такое решение справедливо, строго говоря, только тогда, когда показатель велик по сравнению с единицей. Но если выбрать С ==-1, то получится интерполяционная формула для функции распределения, которая обладает нужными свойствами и при
х^>х9:
2 УАуГ,_ 2,35
1п^ . (32)
При больших х/х* число квантов значительно меньше равновесного. Добавляя под интеграл (27) множитель (I-пх)> учитывающий вынужденное испускание и поглощение квантов, получаем сходящееся выражение, которое можно интегрировать от и) = 0:
- (o' rfa) • ехр (- Щ/тЬВ":' т I Н(а У Лео j
(33)
Подынтегральная функция равна нулю при достаточно малых (о* Эффективная граница интегрирования лежит примерно при со ~ Шо¦
4. Общие формулы для средней частоты при комптоновском процессе
Если фотонный газ еще далек от статистического равновесия с электронами, то число фотонов с частотой оз><о0 мало по сравнению с единицей, В этой стадии процесса для квантов с частотой о можно написать следующее линеаризованное кинетическое уравнение:
#-"Wf +") = "Л (34)
ду х2 дх \дх J
Рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение. Для этого введем новую неизвестную функцию по формуле
п~е~хПу(х)!х. (35)
Ф удовлетворяет уравнению (мы рассматриваем однородное уравнение)
^=шХ + ( - 7+ 2~ ~)X(f =Л(фр. (36)
А-
Здесь А(х) -оператор в правой части. Некоторые упрощения
расчетов возникают благодаря тому, что А (я) - эрмитовский оператор 3.
3 Мы ввели оператор А (я) и нашли его спектр, пользуясь указаниями И. М. Гельфанда.
31
Допустим, что начальное распределение фотонов задано в виде некоторой функции п^{х); тогда распределение в любой более поздний момент символически записывается так:
Ф (X, у) = еАшхех/\ (*); п = -- еА{х)вХех/\ (х). (3 7)
Л
Допустим, что в начальный момент испустился квант с частотой (Oj. Тогда л0(л')=6(лг-Вычислим в безразмерном виде среднюю частоту, которую будет иметь этот квант через некоторое время в результате комптоновского процесса:
Со Со
х = f хпх1 dx = Г dx =
X2
*1
со
- Г е*/2 iiinilW*x*exlt dx -- ~е^е*{х')ух\ех'1г =-Л (*,).
J Х1 хх *1
(38)
Здесь мы воспользовались тем, что функция от эрмитовского оператора есть тоже эрмитовский оператор. В формулу (38) входит функция х(*0> которая, очевидно, удовлетворяет относительно Xi такому же уравнению (36), как ф(я) относительно х. В отличие от <р функция х подчинена другому начальному условию:
%(у = 0) = хУх'/\ (39)
В дальнейшем индекс 1 при хj будет опускаться, потому что "текущая частота" х гам больше не встретится.
Итак, чтобы найти среднюю частоту кванта, испущенного с начальной частотой л;, надо решить уравнение (36) с начальным условием (39), Для этого надо сначала определить спектр эр-митовского оператора А (л). Положим
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed