Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Это и есть уравнение для поправки к потенциалу. Здесь первое слагаемое справа учитывает обмен, а второе слагаемое происходит от добавки к классической скобке Пуассона. Если подставить выражение Дф0 в правую часть (49), то получится слагаемое (8/9л2)ф0, которое в 9 раз меньше обменного члена. При численном интегрировании оказывается, что такого же порядка отношение обеих поправок к потенциалу. Перейдем теперь к безразмерным переменным Томаса-Ферми, которые мы здесь выразим через т, е и h:
(Зл)*^ ' х Тг . у те* глч
г=-±-1-------------% - - X ф, =---------------------- . (50)
3V. Z7. /и*' г fl {6n)V. х h2 K
Тогда безразмерный потенциал в нулевом приближении удовлетворяет известному уравнению ?
(47)
Подставляя pj из (46) в уравнение (47), получим
d2%/dx2=%3txx-4*,
(51)
252
а безразмерная поправка у находится из линейного неоднородного уравнения
dly
dx*
(52)
Заметим, что потенциал в нулевом приближении пропорционален Z'l\ а в первом приближении пропорционален 22*Ч Следовательно, относительный порядок величины поправки есть Z~Vi (численный коэффициент 40/(6л)4/-э мало отличается от единицы).
4. Интегрирование уравнения для поправки
к потенциалу
Граничные условия к уравнению (51) суть х(0) = 1 и х(°°) =
- О, ибо в непосредственной близости от ядра имеет место чисто кулоновский потенциал, а на большом расстоянии от ядра потенциал из-за экранирования электронами спадает быстрее* чем кулоновский. Условие на бесконечности для у есть, очевидно, тоже у(оо) =0, а в нуле у{0) =0, потому что значение потенциала вблизи х- 0 описывается уже функцией %(х).
С другой стороны, уравнение (52) несправедливо как в непосредственной близости к ядру, так и на больших расстояниях от ядра. Можно поставить вопрос: законно ли интегрировать уравнение (52) с граничными условиями #(0) =у(оо) =0, если эти условия наложены вне области применимости уравнений*.
Рассмотрим сначала решение со стороны малых значений х, порядка радиуса К-оболочки. В области К-оболочки принятое в работе квазиклассическое приближение заведомо неприменимо. Но заключенный в этой оболочке заряд - порядка величины едгь тшцы, так что его влияние на потенциал самосогласованного поля в атоме имеет порядок 1/Z по отношению ко всему потенциалу.
Между тем принятая нами точность есть так что поправка порядка 1/Z должна отбрасываться. Вместо с тем отсюда видно, что есть наивысшее приближение, совместимое с квази-класснческим подходом к задаче.
Поэтому не следует интегрировать "точное" уравнение, в котором члены, пропорциональные учитываются наравне с основными (что, например, делает Иенсеп [3]). Уравнение для первого приближения (52) достаточно проинтегрировать один раз, как и основное уравнение (51), и для разных атомов учитывать зависимость потенциала от Z только согласно (50).
Можно оценить непосредственно по уравнению (52) порядок величины тех расстояний от ядра (со стороны малых *), где поправка становится сравнимой с нулевым приближением. Наиме-
* Этот вопрос поставил и разъяснил нам Л. Д. Ландау.
253
нее благоприятная оценка получается в случае, если сравнивать не потенциалы, а поля, производимые данным распределением плотности электронного заряда. Это сравнение мы и произведем. Функция х вблизи начала координат имеет, как известно, следующий вид х=1-1,589х+4/з*л/*. Единица в первой части отвечает потенциалу ядра и при вычислении поля нас интересовать не будет. Поле, происходящее от электронов, в нулевом приближении есть
= - zVi-^-=1- = - -
dx х 3
Выражение у при самых малых а* легко получить, подставляя в правую часть (52) х=1, что дает у-4^х, или согласно (50)
Я, = ZVi - -L = 0,04Z'V3/'.
(6jx)v 9 dx у х
Сравнивая У0и?|, видим, что <?х становятся порядка 80, когда *mm~0,06 Z~\ rmln~0,07 h2jZme2', т, e. ~0,07 от 'радиуса К-оболочки.
Таким образом, экстраполируя граничное условие для у в точку *=0, мы совершаем ошибку, относительный порядок которой есть 1/Z, причем с малым численным коэффициентом.
Рассмотрим теперь применимость граничного условия у~0 при больших х. Как известно, асимптотический вид решения %(х) со стороны больших х есть 144/я3. Но практически эта форма решения не достигается. Поэтому целесообразно принять, что функция %(х) при больших х есть Аг(х)х~\ где А{х) -медленно меняющаяся функция от х. Соответственно определим асимптотическое решение однородного уравнения
Уо - 7-2 Уа Уш = о.
Будем искать у0 в виде уй=хш\ пренебрегая производными dX(dx. Тогда
^1,2= -Vg± V(3-4/2)+ V4 *
Одно решение г/01 возрастает на бесконечности как х\ а другое решение уа2 убывает на бесконечности, как хх* *
Любое решение неоднородного уравнения (52) можно выразить в виде квадратур от правой части при помощи решений у и Но правая часть известна нам не при любых значениях х9 а только при таких х, когда поправка еще мала по сравнению с основным решением. Предположим, что начиная с какого-то х=. = x0 и больше функция в правой части (52) есть какая-то неизвестная/^*). Покажем, что решение у{х) прих<*1 не зависит от этой функции F(x), еслитолько y(xt) достаточно велико для того, чтобы убывающее на бесконечности решение уже становилось малым. Это означает, что можно положить у(оо)=0| не делая заметной ошибки.
