Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
А = Г е'Р<Г- ill- f dp' Р0(р' - р0)^'рЧг-г') =
Р J I г- г' I (2я)0 10
= j- Г d р' р0 (D' - ро) f dr' - <."*-"*,r-r'> (28)
(2я)а J у 0 V J |г - r'j v 7
248
Внутренний интеграл, как известно, равен 4я|р-р' дующее интегрирование по dp' элементарно и дает
-2
Ро-Р'1
In
^ + 2 Ро .
Ро - Р /
После-
(29>
По сравнению с В, Ар имеет меньший порядок величины, что будет показано в дальнейшем после перехода к единицам Томаса- Ферми, Поэтому в наименьшем приближении гамильтониан выглядит так:
7 Л*
(W
Согласно (25) функция р0 в этом приближении должна обращать в нуль классическую скобку Пуассона:
ДРП dHfi Фр _ Q
dpt dxL dxt dpi
Из выражений для Я0 и р0 (получаем
дН> . л, дНл _xi d 1 1 Г dr"
' -" If} % -•
г dr
dpt
дх?
Зя8
г - г
О"
*l dp> " др1 p дХ{ г дг
так что скобка Пуассона имеет следующий вид:
1 г d г" я . - Z
рг
dr
dr \ 3 п2 J 1 г - г'
¦р1 (О
= о.
(31>
Функция р/ отлична от пуля только при р - Ро. Следовательно, при этом значении р обращается в нуль выражение в круглой скобке:
dr dr \ Зп2 J \ г - г" | г /
Ро^+
(32)
Это уравнение непосредственно интегрируется, причем из уело-вия па бесконечности константа интегрирования должна быть положена равной нулю:
р1
3sv
К
г- г'
dr'
(33)
Выражение в левой части равенства есть энергия, вычисленная для граничного значения импульса р0- Как мы видим, она обращается в нуль. Поэтому функция р0 может быть записана в следующем, весьма удобном для дальнейших вычислений виде:
Ро - Ро (Ео) "" |
1, ?о<0"
О, ?0>0.
(34)
249
т
От уравнения (33) легко перейти к его обычной форме. Действительно, полагая
Фо=~тТ I -1 dr' + - , (.35)
J I г -- г 1 г
мы видим, что
Дф0 = 4л/?/Зл*. (36)
Но согласно (33), р^ - 2ф0, так что потенциал удовлетворяет
уравнению Томаса - Ферми
Дф0=(2'УЗп)ф0'*. (37)
Перейдем теперь к уравнениям первого приближения. Для этого будем писать матрицу плотности и потенциал в виде разложений
P~Po+Pi = Po(?o)-fpi, ф = ф + ф,. (38)
Здесь фп, по определению, есть сумма потенциала ядра 'и само-согласованного поля нулевого приближения. Функция р0(?о) определена формулой (34). Поправочные члены ф* и р, мы будем подставлять только в скобку Пуассона нулевого приближения^ а во всех остальных членах уравнения (25) и п обменном операторе оставим только нулевое приближение.
Если подставить в часть выражения (25), содержащую третьи производные, гамильтониан согласно (30), то легко убедиться, что останется только первый член в круглых скобках. Действительно, все смешанные производные от Нп по и по pi равны нулю и, кроме того, //<, имеет только производную по pi не выше второго порядка. Вычисляя производные, имеем
d*H = - XiXkXi d 1 d 1 d(b
dxi dxk dx^ dr r dr r dr
dr r dr
' = (fi,kPj + 6k,Pi -1- Ьа?к) ^ + p.PkPi ¦ (39)
dPi дРь &Pi ' dE\ d?"
Удобно выделить множитель (p, г) и в остальной части изменить независимые переменные, входящие в задачу: вместо р> г и (рг) ввести переменные
Е9 = Ч2рг-<р0, А^=[г, р2] = р2гг-(р г)3 (40)
л г. В новых переменных произведение третьих производных выглядит так:
*я0 а*Рп
dxidxkdxl dptdpk dpt
250
где обозначение / очевидно.
Обменную энергию А [см. (29)] следует подставлять только в-скобку Пуассона нулевого приближения
дЛ др, дЛ ф, (pr) dp, /дЛ д?л
'01
dpi dx. дк( dpt pr dr \др dpjp=±p^dp
= (РГ) 1 dp, dp. ^ (pr) 1 d_ dp0 . (42)
г 7i dr dE, r 71 dr 0 dE{S
Будем полагать, что поправка к плотности выражена через VJ М2 и г. Как известно, классическая скобка Пуассона от любого интеграла движения или от любой функции интегралов движения обращается в пуль. Поэтому при подстановке Pi в скобку Пуассона нулевого приближения не обратится в нуль только тот член, который содержит производную по г. Этот член равен
дИ, dpi (pr) dpi
dpt дх* г дг
Поправка к потенциалу <pt зависит, по определению, только от г. Поэтому она дает член
(rp) dtf! dp,* (44)
г dr дЕ
Все выражения, входящие в уравнение (25), после сокращения на (pr)jr имеют вид производных по г от различных выражений:
^ + = ¦ (45)
дг dr аЕ;, л dr dE,. 24 dr
Так как не зависит от г, это уравнение можно сразу проинтегрировать, полагая произвольную аддитивную функцию от и М2 равной нулю из условий на бесконечности. Это иптегриро' вание по г стало возможным вследствие выбора независимых переменных М2 и г. Итак,
^ _ Vty., Фп ,
Другое уравнение, связывающее ф, и рь есть уравнение Пуассона для потенциала
Хотя поправки ,к р0 велики при но в потенциал они входят
интегрально, и поэтому результирующая добавка к потенциалу .мала.
В уравнении (47) удобно прежде всего произвести интегрирование по частям. При этом члены, не зависящие от угла, при-обретают просто множитель 4л, а член, пропорциональный получает множитель 4л 8/з г^Рг потому, что Л12 пропорционален квадрату синуса между г и р. При помощи равенства (40) величина, стоящая в квадратной скобке правой части (46), после интегрирования ло углам становится равной
Интегрирование по р тоже легко произвести, если воспользоваться определением (34) функции р0.
Действительно, вместо рЫр напишем У2(Е0 + фй) dE0 и воспользуемся тем, что dpJdE0=-6(?0) - Интегралы от второй и третьей производных р0 легко берутся при помощи известной формулы
