Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы уравнение (2) обеспечивало сохранение полного числа квантов, надо положить
f dx \ dWN (е) Д = (ft Г/тс2) (c/l) /ш (4 -ha/k Т). (8)
Равенство (8) может быть получено следующим образом. Кинетическое уравнение для квантов должно выглядеть как неко-
26
торый закон сохранения
{дпЩс = -х^д {x*f)fdx, (9)
где j - "поток" квантов в пространстве частот. Так как уравнение (2) второго порядка относительно х и содержит вторую производную d2njdxz линейно, без коэффициента, зависящего от п, поток должен иметь вид суммы первой производной дп/дх и некоторой функции, зависящей от п,, Но в состоянии полного равновесия, когда п=(ех-1)"\ поток равен нулю. При этом дп/дх=-л(1 + л). Отсюда следует, что
/ -g (х) [дп/дх -г п (1 f я)], (10)
где функция g(x) подлежит определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сравнивая с (2),, убеждаемся, что g~x2t а неизвестная функция -х), что эквивалентно (8). Ра-
венство (8) находится в качественном согласии с формулой Вина: энергия кванта увеличивается до тех пор, пока Л<о<4?7\ Введем теперь безразмерное время у по формуле
t = (тсг/кТ) (//с) = у. (11)
В этих единицах кинетическое уравнение пишется следующим образом:
?)с<12>
Если I, то это уравнение переходит в линейное:
<13>
Это уравнение и будет решаться. По уравнению (13) легко вычислить время, за которое энергия кванта увеличится вследствие комптон-эффекта в е раз. Умножая обе части (13) на х3 и интегрируя, получим
со оо со
¦L jnx3dx = 4 j nx*dx-J nxtfo. (14)
о 0 4
Пока Ло> еще мало по сравнению с kT, вторым интегралом в (14) справа можно пренебречь. При этом будет д;=хЕачеЧ Это значит, что время возрастания энергии в е раз равно
тс= (mcz/4kT)l/c. (15)
3. Тормозной спектр
Спектр тормозного излучения в общем случае выглядит довольно сложно. Предположим, что выполняются такие условия, когда для определения спектра применимо борновское приближение. Эти условия выполняются в легких элементах при достаточно высокой температуре (от нескольких десятков кило-
27
вольт и выше). Б то же время считается, что выполнено неравенство кТ<^тсг. Рассеяние электронов на электронах с испусканием квантов мы учитывать не будем, так как оно вносит заметный вклад только в самом легком веществе и во всяком случае не превышает тормозного испускания на ядрах, оставаясь всегда меньше него.
В борновском приближении и в иерелятивистском случае тормозное сечение выглядит так [(1),с. 183, (18)]:
do = 1 In(^-± ¦Уе~^)3 ^ ¦ (16)
8 mhc* s h(o со
Чтобы перейти отсюда к полному числу квантов с данной частотой со, испускаемых в единицу времени, сечение надо умножить на LN^)vd% (L -число ядер в единице объема, v - скорость электрона), проинтегрировать по всем состояниям электрона и отнести к числу состояний кванта данной частоты в единице объема. Так получается выражение
- = з 1 Г-- e-ft<a/8*rУ I=ве Х/'К^ ^/2) . (17)
V у 8тЧТ to8 \2kT j /ко8 V
Здесь /С5 - функция Макдональда [2, с. 206], тв° - величина размерности времени, характеризующая тормозное излучение. Если учесть обратное поглощение квантов и их вынужденное испускание, то получится скорость изменения числа квантов вследствие радиационного торможения и свободно-свободного поглощения:
(dnfdf)в= (1/<в) [(1 +п) -neto/kT], (18)
Производная обращается в нуль, если вместо п подставить распределение Планка.
Отвлекаясь от комптоновского процесса и полагая, что в левой части (18) стоит полное изменение dnjdt, мы можем проинтегрировать (18). Если в начальный момент п (0)=0, то получается
п- -- -------(1 - exp I- -{е^/ьт- {)
(19)
Отсюда следует, что время релаксации теплового равновесия квантов при чисто тормозном механизме равно
тв = тЬ/(*"'",-1). (20)
Полное кинетическое уравнение, учитывающее комптонов-ские и тормозные процессы, запишется теперь так:
(*L\ + (*!Л = _*L_?_J_Ax*f*L+n + n*) +
\ д( /с \ dt /в dt тс2 I х2 дх \дх }
+ -10+л)- пе*]. (21)
тв
28
Переходя снова к безразмерному времени у9 получим
- = - - г* (- + п + п2) + [{1 + п) -пе*\. (22)
ду х1 дх \дх } хо
Тормозное время тв уменьшается с уменьшением частоты примерно как со2, поэтому кванты достаточно малых частот всегда будут приходить в статистическое равновесие в процессах испускания и поглощения. Кванты больших частот будут подхватываться комптоновским процессом и увеличивать свою частоту, приближаясь к виновскому распределению. Не следует думать, что их частота должна расти монотонно: уравнение (12) -второго порядка, диффузионного типа. Приближение квантов к неполному равновесию (по энергии, но не по -шслу) идет по типу броуновского движения. Граница частоты, при которой комптоновский процесс подхватывает квант быстрее, чем он успевает поглотиться, определена следующей оценкой: тс/тв ~ 1* Подставляя в нее тс к тв, получаем
(9 /я/64 /2)LPrrtl4*b№ {kT)-'V*''8< (V2) (<?*. - 1) ~ 1.
(23)
Весь рассматриваемый процесс установления равновесия комптон-эффектом представляет интерес только в том случае, если так как только тогда имеется область частот
со^>сой, в которой комптон-эффект играет существенную роль. При малых функция может быть заменена разложением по [2, с. 96] : Ло(^о/2) = 1п(4/7^)( где 1п7 = 0,577. Таким образом, Xq определяется по уравнению
