Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Компанеец А.С. -> "Физико-химическая и релятивистская газодинамика" -> 79

Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.

Компанеец А.С. Физико-химическая и релятивистская газодинамика — М.: Наука, 1977. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikohimirelyagazodinamika1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 93 >> Следующая

Предельный переход к квазиклассическому приближению в работе Дирака состоял в том, что квантовая скобка Пуассона для матрицы плотности р(г, г') была просто заменена классической скобкой Пуа ссона для коэффициента Фурье от матрицы плотности. Между тем оказывается, что если не ограничиться этим приближением, а найти член следующего порядка малости, то появится поправка, пропорциональная Z_z/s, как и "обменный -член", оставляемый Дираком в уравнении. Как будет показано дальше, добавочный член, пропорциональный Z-2*, входит с малым численным коэффициентом по сравнению с обменным членом. Но, во всяком случае, нецелесообразно решать уравнение с "обменным членом" точно. Всякий член, пропорциональный Z~*l\ должен рассматриваться только как поправка соответствующего порядка к обычному уравнению Томаса - Ферми.
Следует указать, что Вайцзекер [6] пытался улучшить уравнение Томаса - Ферми, вводя в него другие поправочные члены порядка Z~\ кроме обменных. Но метод, которым пользовался Вайцзекер, нельзя считать убедительным. На самом деле оказывается, что правильное выражение соответствующей поправки, вытекающее из уравнения (17), меньше вайцзекеровского в 9 раз. Из-за этого в конце концов выходит, что именно обменная поправка является преобладающей по сравнению с другими членами порядка Z"*'b, так что в численном выражении исправления обычного уравнения Томаса-Ферми, производившиеся до сих пор, следует считать верными. Но это заключение справедливо только до тех пор, пока обменный поправочный член мал по сравнению с основным. Последнее условие не всегда было выполнено: например, на больших расстояниях от ядра поправка уже значительно превышает основной член.
Совершим теперь переход к квазиклассическому приближению. Для этого представим сначала матричные элементы р(х, х') и Н(х, х') в виде разложений в интегралы Фурье по разности аргументов х~хг\
(20)
(21)
246
где все аргументы векторные, так что х следует понимать, как г, и т. п. Подставим эти разложения в скобку Пуассона:
В первом слагаемом этого интеграла сделаем следующую замену переменных: х"=х + %+А, xf-x-Д, pt=p-q. Во втором слагаемом переменим обозначения р и и положим +
jc'=jc-Д, pl-p-\-q. После этой подстановки скобка Пуассона сведется к следующему виду:
При переходе к квазиклассическому приближению надо считать большими область движения и импульс в интеграле (23). Иными словами, велики импульс р и координата ?, потому что J зходнт только в комбинации х-f 1/2 (мы положили й = 1, а также-будем полагать в дальнейшем е- L и m= I, т. с. перейдем к атомным единицам). Но если велика координата ?, то соответственно мала разность импульсов q, потому что произведение qrQ входит в показатель экспоненты. Разность координат Д тоже следует считать малой, ибо она входит в показатель, умноженная на большой импульс р. Следовательно" разность гамильтонианов под интегралом можно разложить в ряд по степеням q и Д. Мы: ограничимся третьим членом разложения. Очевидно, что нулевой и второй члены сократятся, а останутся только первый и третий. Будем сначала писать формулы без тензорных значков, которые затем легко ввести в окончательный результат. Разложение выглядит следующим образом (см, [7]):
Легко избавиться от множителей q и Д путем интегрирования
ЯР - РЯ - j dx" [Я (х, х") Р {х'\ *')- Р (X, х") Н {х\ х')]
х ехр {гр^х -х") -f ip (х" - х')}.
(22>
(23)
(24),
по частям, заменяя qe'u и на -i{d/dt,)e',A и -1(д/др)е,{,л.
•?А7
Приравнивая нулю коэффициент Фурье, получим после интегрирования по частям следующее выражение, записанное уже в тензорной форме;
дИ до дН др__1_
М dxi dxi dPi
I 1 / &Н д3р_____2 д3Я д3р ,
24 [дх. дхк dx{ dpi дрк dPl dxt дхк dpt dpi дрк dxt
+3-^.---------------------(tm)-------= (25)
дх( дрк dpt др{ dxk dxt dpf дркдр{ dxi dxk dxj
Первые два члена в этом равенстве представляют классическую скобку Пуассона от коэффициента Фурье плотности р, а остальные члены дают квантовую поправку к скобке Пуассона, Исследование этой поправки и является основной целью настоящей работы.
3" Уравнения самосогласованного поля в квазиклассическом приближении
В наименьшем приближении коэффициент Фурье от матрицы плотности имеет вид
[1, Р<Р0(Г).
Р > Ро (г)-
Ро-Ро (Р-М0)= о 7(tm).!' (26)
Иными словами, все состояния, у которых импульс меньше некоторого граничного импульса />0(г), заняты, а состояния, у которых р>р0{г)> свободны. При помощи ?о можно определить -коэффициенты Фурье от различных членов гамильтониана (речь идет о коэффициентах Фурье относительно разности аргументов -х - х?, так что координатная зависимость входит в них через полусуммы аргументов).
Самосогласованное потенциальное поле В [см. (19)] даетсле^ дующее выражение коэффициента Фурье:
~ 7^РВ(Р-Ро)<*Р= - f-Ро(г')- (27)
(2п>3 J | г - г" | J Зя2 J Jr -г"1 ' v 1
в=
Здесь (2я)_3 есть коэффициент Фурье от 6-функции 5(г-г'), а .внутренний интеграл равен 4лр0э/3 по определению функции р0. Спиновые состояния учтены множителем 2? входящим в В.
Обменный оператор преобразуется следующим способом:
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed