Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
* Труды Физико-технического ии-та, т. 1. Ташкент, 1947.
1 В квадратные скобки заключены указания на литературу.
13
руемой работе совершенно не принимается во внимание диффузия зарядов, которые считаются как бы заключенными в ящик.
Какую роль может играть при этом рекомбинация ионов? При каждой рекомбинации образуется световой квант. Такой квант при атмосферном давлении имеет свободный пробег (обратное значение коэффициента поглощения) порядка 10~4 см9 сравнимый со свободным пробегом иона или электрона. Поглощаясь, квант ионизирует молекулу. В результате ионизированная молекула исчезнет в одном месте и появится в другом - произойдет своего рода диффузия обоих носителей заряда [3]. Коэффициент диффузии равен квадрату свободного пробега, деленному на время жизни атома в ионизированном состоянии. Но этот промежуток времени гораздо больше промежутка между двумя упругими соударениями. Следовательно, коэффициент рекомбинационной диффузии надо считать малым по сравнению с обычным газокинетическим. В дальнейшем мы будем рассматривать только обычную диффузию. Установим прежде всего уравнения, которым подчиняется диффузионный процесс в плазме, т. е. в сильно ионизированном газе. Плазму будем считать "изотермической", иначе говоря" примем температуру того или другого рода носителей заряда одинаковой. Подвижности ионов и .электронов равны коэффициентам диффузии, деленным на kT.
Пусть п6 и пр - объемные концентрации электронов и ионов, De и Dp - их коэффициенты диффузии, Е - электрическое поле. Тогда уравнения диффузии в одном измерении имеют вид
Предположим, что плотности пе и пр в объеме, занятом плазмой, мало отличаются от начальной плотности п0. Допущение это будет тем точнее, чем меньшее время протекал диффузионный процесс. Все время протекания процесса имеет порядок величины R2/Dp> где R представляет размеры ионизированной области [см. формулу (45) ] и близко к одной минуте. Поэтому начальный этап процесса можно описывать плотностями пе= = n0-j-6rtff, пр=п0+6пру где бпе и бпр - малые величины. Электрическое поле Е тогда тоже будет иметь порядок малости 6л, и мы имеем право заменить пеЕ произведением п0Е и соответственно пРЕ на пренебрегая малыми второго порядка. Решение (9) тем точнее, чем ближе t к нулю, и имеет относительную ошибку (DJR2, которая, по определению, всегда меньше единицы. Приведенное рассуждение теряет силу для области,
(1а)
(16)
~ =4-t е(пр -пе).
О в)
14
первоначально не занятой плазмой, где равно нулю и не имеет смысла считать 6пв и 5пр малыми величинами. В этом случае применяется другой метод приближения. Если заменить их величиной п0 в множителе при Е, система (1) превращается в линейную.
Заменим в ней t-~- буквой t и х ^
/
кТ
-буквой х. Сле-
довательно, мы приняли в качестве единицы длины дебаевский радиус ионного облака. Окончательно линейная система выгля-
дит так:
1 дпё
dt дх*
1 дпе 1 * t?
dt дх*
-4-(йр ~ ?h),
-(пр-пе).
(2а)
(26)
В целях сокращения письма мы введем векторную систему обозначений. Именно: введем вектор п с компонентами п", пр и постоянный вектор -1, I). В дальнейшем у нас будет
встречаться еще один постоянный вектор ?=?{1, 1} и постоянная диагональная матрица D:
D =
De О
о Dpi
D'1 =
D
О
1
D.
Тогда система (2) приобретет вид
д*п
ZT1 -
ы
дх*
-R (Rn).
Возьмем частное решение (3) пи пропорциональное е~и. Для него будем иметь
а2/!*
~ -R(Rnd.
дх2
Отсюда получается условие ортогональности
о
(X-V) j ni'D~lnx dx = 0,
-СО
если предположить, например, что п(-оо)=я(0) =0. Другая ортогональная система получается из условия {дп\
но ей не соответствует никакого потока частиц из области, первоначально занятой зарядами (х<0), в область, первоначально свободную от ионов (лт^гО).
Положим
sin XX,
где ? - постоянный вектор. Получается система однородных уравнений
(4)
условие разрешимости которой следует из равенства нулю определителя системы (4):
г
\= l(D, + Op)( 1 ± У?)±у |(Ре-Рр)2(1+ХТ + ВД, (5)
В дальнейшем мы будем интересоваться решением при больших х. Во всяком случае, макроскопический х должен быть порядка 105-10б дебаевских радиусов.
Это соответствует
х2<1. (6)
что дает два корня
Afi=Z)e + Z)p, (7а)
^ 2DeDp у2 - Xй 1 De + Dp ~ б • (76)
(7а) отвечает весьма быстро затухающему решению, которое не играет роли. дальше будет именоваться X и соответствующее ему просто В составляющих
= 1" - D* + Dp (8)
Общее решение будем искать в виде
00 п = J S(X)5e-x'sinXjcdX, 0 (9)
где коэффициент S(x) определяется из начального условия
л(/~0) = Erl', х <10 0 *>0' (10)
как о
S (Х) = -^- п { sin(X)?d|* -Оо 16 СП)
При этом допущено просто ?=?, так как поправка имеет порядок
дебаевский радиус_____
микроскопическая длина
о
Входящий в 5(х) множитель j* sin xld% следует полагать рав-
-00
ным - 1/х во всех тех случаях, когда такая замена не ведет к расходимости. В нашей задаче это законно (в противном случае надо менять порядок интегрирования по § и по х)- Плотность п с достаточным приближением получается, если заменить ? единичным вектором Е. Приводить п в замкнутом виде мы пе будем, а запишем только диффузионную часть потока (в обычной системе единиц)
