Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
В самом деле, если изменение температуры в излучающем слое имеет порядок Т2, то изменение потока в нем согласно (2) есть |А5| '^'"PiCpTY Но в сильной волне согласно (3) S2~ upxcvTu так как Тогда с помощью (1.11) и (5)
можно оценить и относительное отклонение плотности излучения
66
U от равновесного значения Uv\
Так как в излучающем слое т~1, производная (dSfdT)2 порядка |AS| и
Поскольку поток в излучающем слое сильной ВО почти постоянен |Д5|/5а^ TJTi<? 1, положение на нижнем краю сильной ВО вполне аналогично положению в фотосферах стационарных звезд. Задача определения связи потока Sa с температурой прозрачности Tz при точном учете углового распределения излучения эквивалентна в пределе сильной ВО известной проблеме Милна [2], точное решение которой
лишь немного отличается от принятого нами диффузионного
2. Распределение температуры в волне охлаждения
Выше было показано, что на нижнем краю сильной ВО плотность излучения весьма близка к равновесной. Естественно принять, что локальное равновесие имеет место на протяжении всей волны, и положить в уравнении (1.12) U^UV:
Q_ c dUv _1оа7*з dT
3 dT ~ 3 dj * ^
Подставляя поток (9) в интеграл энергии (2), получим уравнение для температуры
из которого видно, что производная dTjdx и. следовательно, отклонение от условия локального равновесия монотонно уменьшаются с ростом температуры по мере удаления от нижней границы ВО. Таким образом, перенос энергии излучения в сильной ВО имеет характер лучистой теплопроводности. Это и дока* зывает справедливость используемого нами росселандова спо-соба усреднения длины пробега по спектру [2] внутри ВО
Уравнение (10) интегрируется в квадратурах и дает профиль температуры в ВО
S, - 2 оП
(8)
аТШт = Зир1сР(Т1~Т)/\ЬоГ,
(10)
(см. [1]).
-(l__f2)exp[-т/т" + <7(0],
(П)
67
1*
Рис. 1. Т2/Т|= 1/5; Тк = 1670
~*/1г
Рнс. 2. Т2^10 000°
Рис. 3. Т] =40 000°, Т2= 10000°
где
4(t) = {t-U)[\+(\/2)(t + t,) +
+ (1/3) (P+ttb + tl));
т^8(1-у/ЗЙ- t=T/Tl9 U=Tt/TL. (I Г)
Вблизи нижнего края Г~Г2, так что в сильной ВО Г<с7\- Тогда числитель правой части (10) можно заменить с помощью (3) и (8), что дает приближенное решение на нижнем краю волны
Г'=71(1+}т). (12)
Это выражение, естественно, совпадает с диффузионным решением проблемы Милна.
Асимптотический вид профиля при т^>тк можно получить, если положить в формуле (11) ц (t) ж ц (1) -Эта величина при 1 равна 11/6. Из получаемой при этом формулы следует, что тк представляет собою эффективную оптическую толщину ВО.
Если экстраполировать приближенную формулу (12) вплоть до верхней температуры Ти оптическая толщина ВО окажется примерно в
4 раза меньшей, чем тк. Согласно (1Г) оптическая толщина ВО возрастает с увеличением ее амплитуды очень быстро, пропорционально {TJTZ)\
На рис. I изображено распределение / (х) для fa = 0,2.
Найдем теперь распределение температуры по геометрической координате х. Поместим начало координат на нижней границе волны, где Г=Га, т-0. Переходя в уравнении (1.10) к новой переменной температуре вместо оптической толщины т, и подставляя dT/dx по формуле
68
(10), получим с помощью выражений (3) и (8)
t
г
о
\t{T)dx
(13)
При температурах, не слишком близких к верхней 7\, можно приближенно положить в (13) -Т,2. Подставляя в (13)
длину пробега по формуле (1-3)г, получим
Формула (14) подтверждает соображения, высказанные в [1]
о том, что температура в ВО имеет резкий уступ со стороны высоких температур. На рис, 2 изображено распределение Т{х) на нижнем краю по формуле (14).
Экспоненциальная зависимость 1(Т), обеспечивающая резкий уступ в ВО, в действительности имеет место лишь в области температур, где существенна только первая ионизация, т. е. до ~ 30 0004-40 000°. При более высоких температурах / проходит через минимум и затем возрастает (сравнительно медленно). Поэтому верхний край достаточно сильной волны с 7\>50 000-^ 100 000° довольно сильно растягивается, даже более, чем Г(т) по формуле (11). (При /=const в области высоких температур профиль Т(х) в этой области в точности совпадал бы с профилем Г(т).) Примерный профиль температуры во всей волне представлен на рис. 3.
Для того чтобы оценить точность приближения лучистой теплопроводности, в котором был найден профиль температуры и тем самым определить понятие "сильной" волны, можно найти поправку к величине потока S2=2cr7Y за счет отклонения от локального равновесия. Очевидно, эта поправка дает точность приближенного решения уравнения ВО, так как наибольшее отклонение от локального равновесия имеет место именно на нижней границе волны. Расчет указанной поправки методом последовательных приближений дает 1-S2/2<j7V=0,18 при 7уга=1,5; та же величина равна 0,1 при TJT2 = 2 и 0,05 при TJTZ = 3. Таким образом, точность приближений лучистой теплопроводности быстро увеличивается с возрастанием амплитуды ВО, и волна с Т^Гг - 3 с точностью 5% может считаться
сильнои.
2 Согласно (1.3), /~(Г2/р) ехр \ljkT]. Вследствие постоянства давления в ВО
(см. [1]), р~Г-1 и 1~Т3 ехр [//бГ].
69
/
W(A)- (И)
3. Нижний край волны охлаждения и переход к прозрачной зоне охлажденного воздуха
