Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
При этом, очевидно* поток, уходящий на бесконечность,
S, = oTi (20)
При условии ?/р = const уравнения переноса излучения сильно упрощаются. Будем исходить здесь из интегрального выражения
(13); получим
S = S^. (21)
Подставляя (21) в (17), получим
иР^рТ = - Ах - Sze"T + С. (22)
Подстановка температуры из этой формулы в уравнение (10) дает дифференциальное уравнение первого порядка для нахождения функции ?(т) или, возвращаясь к (22), ^(т, S2) и Т(х, S2). Для решения этого уравнения заметим, что в интересующем нас узком интервале температур фактическая больцмановская зависимость длины пробега от температуры, даваемая формулой (3) (слабой зависимостью от температуры предэкспоненциаль-ного фактора пренебрегаем), может быть аппроксимирована экспоненциальной
I="аур, мр сг_ ту} ¦ < (Г,,)^ {,
(23)
где -некоторая температура, около которой произведено разложение показателя экспоненты.
Такая аппроксимация была сделана Франк-Каменецким в теории теплового взрыва [5], Эта формула автоматически обеспечивает стремление потока к нулю при -оо, где температура стремится к бесконечности (а ее градиент согласно (22) конечен), что необходимо для существования режима. Температуру Т0, около которой произведено разложение и которая может быть задана произвольно, определим уравнением
At (Т0) liuP^cpTbkT^ 1. (24)
61
Перейдем к безразмерным величинам по формулам
в = (Т-Т0)1/Т,/гТ0-, (25)
d?, = dx/l(T0); (26)
Л ' * ' <Г'=Ы- (27)
s =
wpi^p^o (Ту №й
Уравнения (22) и (10) в безразмерных величинах имеют вид в="-? -ar* +С, (28)
d?= - <redr. (29)
Решение их с граничным условием т=ч.О, |==оо(^=оо),
e^dtj + C, (30)
S- -In
0 = ln
s<rT, (31)
дает параметрическую связь 0(1), т. е. профиль температуры в
слабой ВО. При помощи подстановки интеграл, стоящий
под знаком логарифма в формулах (30), (31), выражается через табулированные функции Ei(*) [6]:
X
Ei(x)= J e"lK (32)
-СО
а именно:
J = j 6s* dt - Ei (s) - Ki (se~r). (33)
0
На нижнем краю ВО температура асимптотически приближается к нижней прямой по закону (при т<С1, stCl, 0->-оо)
6=->-8-s+s(l - ехр(-ев).+С. (34)
Со стороны верхних температур профиль в(?) имеет характер уступа, крутизна которого все время растет при увеличении 0. Лишь когда (c) почти достигает верхней прямой, кривая 6(?) проходит через точку перегиба и начинает асимптотически при-ближаться к верхней прямой, опять-таки по закону (34), но при
тЗ>1> se^T<cl, 0-^+<*>.
Эти закономерности иллюстрируются рис. 3, на котором график 0(|) при 5 = 5; начало отсчета ? помещено в точку, где 0=0. Естественно считать фронтом ВО точку перегиба 0(?), в которой крутизна уступа максимальна, и под верхней и ниж-
62
ней температурами ВО подразумевать значения 0 на асимптотических прямых при координате перегиба (см. рис. 3).
Оптическая толщина Тф, соответствующая фронту ВО, может быть найдена из уравнения d20/d?a = O. Дифференцирование
(30), (31) дает трансцендентное уравнение для тф в зависимости от параметра s
= Ei (s) - Ei (р) = е&/(1 - Р), p-se'4 (35)
Температура в точке перегиба 0Ф* а также верхняя и нижняя температуры ВО 04 и 02 равны
0ф=-1п(1-р), (36)
01 = 0ф+р, (37)
0а=0ф-Ьр -s. (38)
Задача нахождения нижней температуры ВО Т2 и, следовательно, ее скорости и при заданных верх^ ней температуре Г4 и адиабатическом охлаждении А легко решается методом последовательных приближений. Задаемся какой-либо величиной параметра s и по формулам (35) - (38) находим 04 и 02. Затем, переходя к размерным температурам по формуле (25), определяем Г0 и Т2\ подставляя эти значения в (27), находим параметр s в следующем приближении и т. д. Последовательные приближения быстро сходятся, так *ка-к Т0 зависит от 5 логарифмически.
Удобнее пойти обратным путем: задаваясь значениями параметра s и какой-либо из двух величин, характеризующих ВО-7\ или определить вторую величину и необходимое для обеспечения существования стационарного режима адиабатическое охлаждение А. Так, для случая s = 5, к которому относится рис. 3, получаем по формулам (35)--(38) : р=0,937 тф=1,69, 0ф-i2,7, (c)i = 3,7, 02= -1,3. Например, при верхней температуре 7'1 = 12 250Q1 нижняя температура оказывается равной 72=9200°; при этом 7'o=il0 000° (/ принято равным для воздуха 14 eV).
Реальный интерес представляют лишь значения параметра s, достаточно большие по сравнению с единицей. В самом деле, из формулы (23) следует, что
(39)
а соотношение длин пробега должно быть больше единицы для самого существования ВО, о чем было сказано в начале этого раздела. (С другой стороны, сверху s ограничено условием слабости волны.) В случае s^>l все формулы существенно упрощаются и может быть установлена в явном виде приближенная
1\ -г
1 \ 1 \
1 j \ о
W* ?
Рис. 3
63
связь между нижней температурой ВО и величиной адиабатное* ского охлаждения, причем температура .То* около которой произведено разложение длины пробега, вообще выпадает из уравнений. _
Воспользовавшись асимптотическим выражением E\(s)?ze*!s при 1 и замечая, что когда s^> 1, корень уравнения (35) Р"Л (тф^Ins), найдем по (31), (35)
