Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Полагая возмущения" происходящие в плазме, небольшими, нетрудно свести систему (1) - (7) к виду, который относится к распространению малых колебаний. Для этого надо считать п-п0 малой величиной и систематически пренебрегать всеми квадратичными в возмущениях величинами. Тогда линеаризованная система примет вид
= - SVn'+e/ieE, (8)
дп = --п0divv, (9)
dt
rotH= - -+ ^^-v, (10)
с dt с
divE = 4Tten', (И)
(12)
c di
divH = 0, (13)
dp_\
¦dn /п-п.*
Система (8) - (13) может быть выведена из вариационного принципа, причем функция Лагранжа должна выглядеть так;
причем п/=п-м0)
1= ПЕ*----------15------п"е(уК)
J L 2 2п0 * С 8я v
где <р - скалярный потенциал, А - векторный потенциал.
6
dV> (14)
Исключим теперь v, nf и Н из системы (8) - (13). С этой целью продифференцируем уравнение (10) еще раз по времени, причем в левую часть подставим dH/dt из (12), а в правую - dv/dt из (8), заменяя при этом п' по (11)- Тогда получится уравнение, описывающее только вектор электрического поля Е:
= - crot rotE- -^-VdivE f E. (15)
c dt2 cp cp
Полагая теперь
E = (16)
т, e. в виде обычной плоской волны с частотой со и волновым
вектором к, получим два различных закона дисперсии о) = (о(&) в
зависимости от направления поляризации Е0.
При i?ollk (продольные волны)
= (17)
Р Р Р
и при ?0-Lk (поперечные волны)
ш* = + 4 л n\e*l Р = (?№ -j- m2. (18)
Рассматривая функцию Лагранжа L, легко видеть, что она распадается на две - L{ и LtJ так что распространение продольных и поперечных волн в линейном приближении происходит независимым образом.
Функциональная зависимость частоты от волнового вектора как для продольных, так и для поперечных волн очень напоминает выражение релятивистской гамильтоновой функции материальной точки через импульс, причем в обоих случаях масса покоя пропорциональна = . Однако частота попереч-
ных волн зависит от k гораздо сильнее, так как она содержит коэффициент с% при тогда как частота продольных волн имеет коэффициент иг (квадрат скорости звука), равный л0?/р. В самом крайнем случае, когда электроны плазмы движутся со скоростями, весьма близкими к с,
Р~л4/., а р=7.(р_р)? (19)
так что
3, (20)
обычно можно полагать
Поперечная волна, если она каким-либо образом возникнет,
будет поглощаться плазмой. Такой поперечной волне следует сопоставить световую волну, в которую поперечная волна переходит при Закон ее затухания в плазме под влиянием
возбужденных звуковых волн будет описывать поглощение света. Механизм поглощения становится ясным, если написать
7
систему уравнений (1) - (7) с точностью не до линейных, а до квадратичных членов. Это значит, что при исключении неизвестных надо отбросить величины типа ft'[vH] как малые третьего порядка. Тогда, обозначая
получим вместо уравнения (15) следующее равенство:
±?Ь " -crot rote- VdivE+ ^E-
c dt cp cp
-II e V div E - [(v V) v +vdiv V] +
4 леер с
. 2пйе " . 4ял"е*
EdivE-1-----2_IvH]. (22)
Cp c2p
Последние три члена в (22) представляют возмущающую силу, В ней следует удержать те члены, которые описывают взаимодействие продольных волн с поперечными (поперечно-поперечные взаимодействия отсутствуют в квадратичном ириближе/нии). Поэтому член div EV div Е для поглощения поперечных -волн не существен. Далее, величины v и Н могут быть определены из линеаризованных уравнений, если задать Е в виде плоской волны согласно (16).
Именно:
Н-
Vi =
с |кЕ] ) (23)
еп0 Ef * (24)
юр
Е
(25)
Aniena
Тогда возмущающая сила получит следующее выражение:
Fuw = - (2 + (k' Etk'i) Eik s - - W/(k'?/fe7) Ett.
cp { u>ik ) с
(26)
Здесь индекс / принимает значения 1 и -1, причем &ik\i =
- \&ikr-> юцч-i\- - \Щи' |* тзк что Eik*л обозначает волну, бегущую направо, Eik\-i-&олну> бегущую налево. Обозначение
очевидно. Разлагая (22) по компонентам Фурье, мы должны выбирать только члены с одинаковой зависимостью от коорди-
8
нат. Тогда получим
г"
Л'ЫкЕк - 2 ^'&*b-k\k\iEk-kf (kf Ek'j), (27а)
& k',J
&EkrV dt2
+ = ikk.-k\-j (k' E-k\-j) Ek* (276)
При написании (276) предполагалось, что в какой-то начальный момент времени ?=0 было возбуждено только колебание Eik и "звуковой" спектр, тогда как комбинационное колебание Etfk-y возникло уже в результате взаимодействия того и другого. Поэтому в правую часть (276) из всех поперечных волн должно было войти только уже возбужденное Etk.
Будем искать Eth в таком виде:
(28)
1\ равна коэффициенту поглощения, умноженному на фазовую скорость поперечных волн. Ек-у ищем как
Ек-г = с{ Ое**-*", (29)
где c(t) настолько медленно переменная функция времени, что ее второй производной следует пренебрегать. На c(t) налагается начальное условие с(0)=0. Тогда с(?) определится по уравнению (276) следующим образом:
Я- * /tok-Vk'k'-Vk'f+trt)* 4
с (0 = - Eak (к' ?а, -------------------=?- • (30)
~ (r)k-k' " ШЛ7 'Н
Подставляя теперь (28) в левую часть, а (30) в правую часть (27а), получим такое уравнение (где мы пренебрегли IV):
WAW_fo/(X
л*,/
х(А'ад <k'i?..-*w)e (31)
G>fc'/ + ir*
Суммирование no kf можно заменить интегрированием, если учесть, что число колебаний с волновым вектором к' равно
