Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
z=ln?.
Тогда уравнение второго порядка, связывающее у и содержит г лишь под знаком дифференциала. Следовательно, вводя
du
в качестве неизвестного, исключим z и получим уравнение первого порядка, связывающее р с у. Подставляя найден* ные нами показатели по уравнениям (12, 13а, б), будем иметь:
плоский случай
упр iP. +nf?yn-1 + ?±±3п руп + _L_ р + ?±2л +1 + л_ = 0.
йу П 1 т(- П ГГ П
(26а)
сферический случай
у*р± =0.
dy п 2 + 'дп tia гг
(266)
47
При малых у ищем решение стеленного вида
р=Иу\ (27)
причем из условия обращения в нуль у при конечных § и z следует, что s< 1. Подставляя (27) в уравнение и удерживая старшие члены по малому у, найдем
Р=--(28а)
Й -у ft
р-------- у'-'\ (286)
к 2 -f- з" v
что тождественно совпадает с (23).
При f стремится к константе, а следовательно, в этом
пределе
L Н 2
!/^fnf(0) = f(0)e'n , р= ~r = ~-/(0) в'"* = у
dz п п
(29)
у и р неограниченно растут. Нетрудно убедиться, что (29) удовлетворяет уравнениям (26а, б) в пределе при больших р и у. Из предшествующего следует, что решение, идущее при малом у по (28а, б), при большом ;/ обязательно переходит в (29),
6. Решение уравнения для плоской задачи
Прямая подстановка показывает, что в плоской задаче [уравнение (26а)J при любом значении показателя п сумма выражений, дающих предельные законы зависимости р от у при ма~ лых и больших у, т. е. выражение
<3Q>
является точным решением (26а).
Теперь нетрудно найти и безразмерную f(§):
(31)
Наконец, возвращаясь к размерным переменным jc, t и используя условие нормировки на полную энергию (5а), получим искомое решение в окончательном виде
где
Мо-^-гтт-тг^
(33)
Г 7' 2
Легко убедиться в том, что в пределе при п-^О найденное решение переходит в известное решение линейного уравнения. Действительно, при
Jn У^т/2 и (32) превращается в
Т^-4=( 1 (34)
2 У^йй V tot J 2 Yп-a/
Более того, выражение, подобное (32), оказывается справедливым и при п<0. Таким образом, мы нашли решение плоской задачи не только в случае теплопроводности, обращающейся в пуль при начальной температуре Г=0 (л<0), но и в случае теплопроводности, обращающейся в бесконечность при Т-0(п< СО).
В линейном случае постоянной теплопроводности решение задачи дается, как известно, выражением (34) и экспоненциально спадает на большом расстоянии. В случае /К О, т. е. при нулевой теплопроводности, при решение отличается суще-
ствованием конечной области распространения тепла, вне которой Т=0.
В случае Ж0, или бесконечной теплопроводности, при Т=^ = 0 решение имеет вид
11 _ L
1 { . 2-V 2-V
т - ( v -) 2"v 8 (2 - v) 0* at J
1 1+V
(2_v)2"Vv(aOy'V
(35)
где - n=v, Щс - аТ_v и
/1 1' 1 _л- Г - --
Ул v 2
Gv = J (1 +У1) v dy = -у_ (36)
0 r|7
Это решение справедливо только при v<2, так как при большем v интеграл Gv расходится, что физически означает мгновенный уход тепла на бесконечное расстояние при теплопроводности, обращающейся в бесконечность по закону Г"2 или еще сильнее.
АЬ
Выражение (32) позволяет легко вычислить координату мгновенного положения области распространения тепла:
* =/А+2_а/Е" У*". (37)
Выражение для времени, за которое граница возмущения достигнет заданного положения, можно привести к привычному виду:
п1* г^п Л*3
irp ~~ 2(2 + n) ~I^E_J " 2 (2 -f n) (38)
где
Xx = a{fxf Тх=Щ2х). (39)
Xz есть значение температуропроводности, отвечающее средней температуре в рассматриваемый момент, когда область возмущения простирается от х до -х, занимая длину 2х.
Накоцец, в плоской задаче можно также выразить скорость
движения границы через х*-
^гр 2 гр , ) 1 .dxw 2 X
dt < *Гр dt n X
п = 1 . dxW % _ Зх , -" ) п 1 . dxrv 4 %
dt X dt n X
(40)
7. Распространение тепловой волны от покоящейся плоскости постоянной температуры
Рассмотрим задачу нелинейной теплопроводности с начальным условием Г=0, х>0 при /-О и с граничным условием Т=
- T0t х=0, />0. Последнее отвечает постоянной температуре, поддерживаемой на стенке во время распространения тепла.
Из граничного условия видно, что показатель k в выражении (9) надо выбрать равным нулю, откуда следует, что т-4/в. Таким образом,
т = ту(1); Хо=оП (41)
уaT^t Ухо i
Можно показать, что при ftl>0 снова получится конечная область влияния и граница
? = -^гр - V it за которой Т=0,
50
Зависящее от п число |0 может быть найдено численным интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, что нами не производилось. Результат представляется в виде
Для поддержания постоянной температуры в плоскости необходимо, чтобы в ней помещался источник тепла, мощность которого ~ 1/yf. Эти результаты вполне аналогичны соответствующим утверждениям линейной теории.
По замечанию Н. А. Дмитриева, нестационарная задача о распространении тепла от плоскости постоянной температуры автомодельна при любом законе теплопроводности у(Т).
Уравнение
Однако при произвольном (не степенном) виде <р решения с различными Т0 не подобны друг другу. В согласии с теоремой Ли при произвольном ф не удается понизить порядок обыкновенного уравнения второго порядка, к которому приводит подстановка (44) в (43).
