Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
/=ф(1, ад. (16)
Решение должно удовлетворять двум граничным условиям: л-- оо, Г=0; х --оо, 7=0 (17а)
ПЛИ
г =00, г = 0; г = 0, =0. (176)
дг
В плоском случае по симметрии можно рассматривать только х>0 и заменить второе условие (при х=-оо) на условие
- -О при х=0. Мы уже говорили, что условия для производных в начале координат выражают отсутствие источника тепла а задаче о распространении заданного, постоянного количества тепла.
Мы показали, что условия в нуле у автомодельного решения выполняются при соответствующем выборе показателей т и к. Это связано с тем, что одна из постоянных интегрирования, скажем Си входит в уравнение особым образом. Легко убедиться, что уравнения (12а, б) имеют группу преобразований, оставляющих эти уравнения инвариантными, а именно (штрихами отмечены преобразованные переменные):
Б/=с"Б; Y=&h (18)
Следовательно, если мы имеем какое-либо решение /=<р(?), то и /=сйф(с*?) также является решением. Этим устанавливается способ нахождения константы С^ Вместо (16) напишем
С2). (19)
Подставляя (19) в граничные условия (17), мы убедимся в том, что Ct выпадает из получившихся уравнений. Выполнение граничного условия в нуле обеспечено надлежащим выбором показателей; можно сказать, что показатель т определяется как собственное значение из граничных условий, наложенных на решение дифференциального уравнения.
В другой тепловой задаче - о распространении пламени - мы раньше встретились с аналогичным положением, когда из граничных условий на бесконечности удалось определить собственное значение параметра, входящего в уравнение, а именно скорости распространения пламени и; в этом случае уравнение имело простейшую группу преобразований - группу переносов по оси х" благодаря тому что переменная х входила только под знаком дифференциала. Поэтому одна из констант (Ct) входи-
45
ла is выражение температуры так: Т-Т(х-\-Си С2, v) и не влияла поэтому на выполнение граничных условий на оо.
Вернемся к автомодельному решению уравнений нелинейной теплопроводности. Как отмечалось выше, только при в
линейном случае, Т асимптотически стремится к нулю при х-*оо\ при п>0 существует определенная граница возмущения в каждый данный момент t, так что Г=0 при x>x^(t) или r>r0(t). В автомодельном решении очевидно, что это условие перепишется так:
Скорость границы возмущения v, определяемая равенством
непостоянна. Однако вблизи границы возмущения, в пределе, при малых Хо-х уравнение (6) оказывается справедливым и при переменной скорости v и аналогично в сферическом случае при r0-
Поэтому решение вблизи края найдем, подставляя (21) в (8). Получим
н после перехода к безразмерным переменным, используя (11), будем иметь
Его можно получить и непосредственно из уравнений (12а* б)*
Таким образом, (23) вблизи | = ?0 дает начало кривой /(!), Весь дальнейший ход решения уравнения тем самым уже полностью определен. Постоянная С2 при этом определилась еще уравнением (7) из условия смыкания при ? - с тривиальным решением Т=0.
Из предельного вида решения (23) мы заключаем, что постоянную С, можно выбрать равной Поэтому, 'пользуясь тем, что уравнение допускает группу (18), решение можно записать
Следовательно, все решения вида (24), отвечающие различным ?о, получаются аффинным преобразованием (изменением масштабов ? и /) из одного решения, например из такого, в котором положено 1- Благодаря тому что в области нетривиального решения такое стандартное решение описы-
вает процесс распространения тепла при заданных нами начальных и граничных условиях все время. Оно автоматически при-
(20)
О =-^2- =туЗГ'\ dt 0
(21)
Т = [п^тВГ'1 (х9-х) сТ1]1'"
(22)
(23)
так:
(24)
46
ходит в точку 1 = 0 с правильным значением производной благодаря надлежащему выбору показателей.
Благодаря наличию группы можно получать из одного решения /(|) целый набор различных решений (19); при этом меняются также интегралы /i~C1M3+nJ в плоском случае и ¦^~СгС2+8п) в сферическом случае. Согласно (14а, б) при этом меняются А и В, по как раз таким образом, что решение в переменных х и t никак не зависит от Си а определяется только заданными величинами п} а, Е.
5. Понижение порядка и исследование уравнения
Согласно известной теореме Ли, порядок обыкновенного дифференциального уравнения, допускающего однопараметрическую группу преобразований, т. е. инвариантного по отношению ко всем преобразованиям этой группы, может быть всегда понижен па единицу. Выше мы указывали, что уравнение для автомодельного решения допускает группу преобразований.
Заметим, что для существования такой группы необходимо, чтобы с течением времени оставалось подобным самому себе не только решение с данным значением энергии Е [см. (5а, б)], но чтобы имелось подобие и в решениях с различным Е. В нашем случае степенного закона теплопроводности и начального теплового импульса оба условия выполнимы.
Для понижения порядка уравнения удобно пользоваться следующим методом: вводим инвариант преобразования
(25)
и новую независимую переменную, для которой преобразование представляет собой параллельный перенос
